Номер 26.19, страница 218 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 26. Делимость нацело и её свойства - номер 26.19, страница 218.

Условие.

26.19. Докажите, что при любых нечётных натуральных значениях $n$ значение выражения $1^n + 2^n + 3^n + ... + 9^n$:

1) кратно 5;

2) не кратно 10.

Решение.

1) кратно 5;

Обозначим данное выражение как $S = 1^n + 2^n + 3^n + \dots + 9^n$, где $n$ — нечётное натуральное число.

Сгруппируем слагаемые в сумме следующим образом:

$S = (1^n + 9^n) + (2^n + 8^n) + (3^n + 7^n) + (4^n + 6^n) + 5^n$.

Известно, что для любого нечётного натурального $n$ выражение $a^n + b^n$ делится нацело на $a+b$. Применим это свойство к каждой паре слагаемых:

Пара $(1^n + 9^n)$ делится на $1+9=10$, следовательно, делится на 5.

Пара $(2^n + 8^n)$ делится на $2+8=10$, следовательно, делится на 5.

Пара $(3^n + 7^n)$ делится на $3+7=10$, следовательно, делится на 5.

Пара $(4^n + 6^n)$ делится на $4+6=10$, следовательно, делится на 5.

Последнее слагаемое, $5^n$, также очевидно делится на 5 (так как $n \ge 1$).

Так как каждая группа слагаемых в сумме $S$ делится на 5, то и вся сумма $S$ делится на 5.

Ответ: Доказано, что значение выражения кратно 5.

2) не кратно 10.

Для того чтобы число было кратно 10, оно должно делиться одновременно на 2 и на 5. В предыдущем пункте мы доказали, что значение выражения делится на 5. Теперь проверим его делимость на 2, то есть определим его чётность.

Рассмотрим сумму $S = 1^n + 2^n + 3^n + 4^n + 5^n + 6^n + 7^n + 8^n + 9^n$.

Чётность степени числа зависит только от чётности его основания: степень нечётного числа всегда нечётна, а степень чётного числа (при натуральном показателе $n \ge 1$) всегда чётна.

В данной сумме 5 слагаемых с нечётными основаниями (1, 3, 5, 7, 9) и 4 слагаемых с чётными основаниями (2, 4, 6, 8).

Таким образом, наша сумма состоит из пяти нечётных и четырёх чётных чисел.

Сумма любого количества чётных чисел является чётным числом. Сумма нечётного количества (в нашем случае, пяти) нечётных чисел является нечётным числом.

В итоге вся сумма $S$ является суммой нечётного числа (сумма пяти нечётных слагаемых) и чётного числа (сумма четырёх чётных слагаемых), результат которой всегда нечётен.

Поскольку значение выражения $S$ — нечётное число, оно не делится на 2. А если число не делится на 2, оно не может делиться и на 10.

Ответ: Доказано, что значение выражения не кратно 10.