Номер 26.32, страница 219 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 26. Делимость нацело и её свойства - номер 26.32, страница 219.

Условие.

26.32. Дан многочлен $P(x)$ с целыми коэффициентами. Известно, что $P(2) : 5$ и $P(5) : 2$. Докажите, что $P(7) : 10$.

Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством многочленов с целыми коэффициентами: для любых целых чисел $a$ и $b$ разность $P(a) - P(b)$ делится нацело на $a-b$.

Докажем это свойство. Пусть многочлен $P(x)$ имеет вид $P(x) = c_n x^n + c_{n-1} x^{n-1} + \dots + c_1 x + c_0$, где все коэффициенты $c_i$ — целые числа. Тогда разность $P(a) - P(b)$ равна:
$P(a) - P(b) = (c_n a^n + \dots + c_0) - (c_n b^n + \dots + c_0) = c_n(a^n - b^n) + c_{n-1}(a^{n-1} - b^{n-1}) + \dots + c_1(a-b)$.
Для любого натурального $k$ выражение $a^k - b^k$ делится на $a-b$, так как $a^k - b^k = (a-b)(a^{k-1} + a^{k-2}b + \dots + b^{k-1})$. Поскольку каждый член суммы $c_k(a^k - b^k)$ делится на $a-b$, то и вся сумма $P(a) - P(b)$ делится на $a-b$.

Нам нужно доказать, что $P(7)$ делится на 10. Это эквивалентно тому, чтобы доказать, что $P(7)$ делится на 2 и $P(7)$ делится на 5, поскольку 2 и 5 — взаимно простые числа.

1. Докажем, что $P(7)$ делится на 5.
По условию, $P(2)$ делится на 5, то есть $P(2) \equiv 0 \pmod{5}$.
Согласно свойству, доказанному выше, применительно к числам $a=7$ и $b=2$, разность $P(7) - P(2)$ должна делиться на $7-2=5$.
Это означает, что $P(7) \equiv P(2) \pmod{5}$.
Так как $P(2) \equiv 0 \pmod{5}$, то и $P(7) \equiv 0 \pmod{5}$.
Следовательно, $P(7)$ делится на 5.

2. Докажем, что $P(7)$ делится на 2.
По условию, $P(5)$ делится на 2, то есть $P(5) \equiv 0 \pmod{2}$.
Применим свойство к числам $a=7$ и $b=5$. Разность $P(7) - P(5)$ должна делиться на $7-5=2$.
Это означает, что $P(7) \equiv P(5) \pmod{2}$.
Так как $P(5) \equiv 0 \pmod{2}$, то и $P(7) \equiv 0 \pmod{2}$.
Следовательно, $P(7)$ делится на 2.

Поскольку мы доказали, что $P(7)$ делится и на 2, и на 5, а числа 2 и 5 взаимно простые, то $P(7)$ должно делиться на их произведение $2 \times 5 = 10$.

Ответ: Что и требовалось доказать.