Номер 26.37, страница 219 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 26. Делимость нацело и её свойства - номер 26.37, страница 219.

Условие.

26.37. Представьте в виде суммы квадратов двух выражений многочлен:

1) $5a^2 - 2a + 1;$

2) $2x^2 + 6xy + 9y^2 - 6x + 9.$

Решение.

1) Чтобы представить многочлен $5a^2 - 2a + 1$ в виде суммы квадратов, воспользуемся методом выделения полного квадрата.

Наша цель — найти два выражения $A$ и $B$ такие, что $A^2 + B^2 = 5a^2 - 2a + 1$.

Заметим, что выражение $a^2 - 2a + 1$ является полным квадратом разности, так как соответствует формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. Здесь $x=a$ и $y=1$, поэтому $a^2 - 2a + 1 = (a-1)^2$.

Представим член $5a^2$ в исходном многочлене в виде суммы $4a^2 + a^2$.

Тогда исходный многочлен можно переписать следующим образом:

$5a^2 - 2a + 1 = 4a^2 + a^2 - 2a + 1$

Теперь сгруппируем слагаемые:

$5a^2 - 2a + 1 = (4a^2) + (a^2 - 2a + 1)$

Первое слагаемое $4a^2$ является квадратом выражения $2a$, то есть $4a^2 = (2a)^2$.

Второе слагаемое в скобках, как мы уже определили, является квадратом выражения $(a-1)$, то есть $a^2 - 2a + 1 = (a-1)^2$.

Таким образом, мы представили многочлен в виде суммы двух квадратов:

$5a^2 - 2a + 1 = (2a)^2 + (a-1)^2$

Ответ: $(2a)^2 + (a-1)^2$.

2) Представим многочлен $2x^2 + 6xy + 9y^2 - 6x + 9$ в виде суммы квадратов двух выражений.

Сгруппируем слагаемые, чтобы выделить полные квадраты. Обратим внимание на члены, содержащие $y$. Это $9y^2$ и $6xy$.

Член $9y^2$ является квадратом выражения $3y$, то есть $9y^2 = (3y)^2$. Попробуем выделить полный квадрат вида $(A+3y)^2 = A^2 + 6Ay + 9y^2$.

Сравнивая член $6Ay$ из формулы с членом $6xy$ из нашего многочлена, мы можем предположить, что $A=x$.

Проверим, какой вид имеет квадрат $(x+3y)^2$:

$(x+3y)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3y + (3y)^2 = x^2 + 6xy + 9y^2$.

Эти слагаемые присутствуют в нашем многочлене. Чтобы выделить их, представим член $2x^2$ в виде суммы $x^2 + x^2$.

Перепишем исходный многочлен:

$2x^2 + 6xy + 9y^2 - 6x + 9 = (x^2 + 6xy + 9y^2) + (x^2 - 6x + 9)$

Первая группа слагаемых в скобках является полным квадратом $(x+3y)^2$.

Рассмотрим вторую группу слагаемых: $x^2 - 6x + 9$. Это выражение также является полным квадратом разности:

$x^2 - 6x + 9 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x-3)^2$.

Следовательно, исходный многочлен можно представить в виде суммы двух квадратов:

$2x^2 + 6xy + 9y^2 - 6x + 9 = (x+3y)^2 + (x-3)^2$

Ответ: $(x+3y)^2 + (x-3)^2$.