Номер 26.36, страница 219 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 26. Делимость нацело и её свойства - номер 26.36, страница 219.

Условие.

26.36. Дан многочлен $P(x)$ с целыми коэффициентами. Разные числа $a, b$ и $c$ таковы, что $P(a)=P(b)=P(c)=-1$. Докажите, что не существует такого $x_0 \in \mathbb{Z}$, что $P(x_0)=0$.

Решение.

Докажем утверждение методом от противного. Предположим, что существует такое целое число $x_0 \in \mathbb{Z}$, для которого $P(x_0) = 0$.

Воспользуемся известным свойством многочленов с целыми коэффициентами: для любого многочлена $P(x)$ с целыми коэффициентами и для любых двух различных целых чисел $m$ и $n$, разность $P(m) - P(n)$ делится нацело на разность $m - n$. В условии задачи не уточнено, являются ли числа $a, b, c$ целыми. Однако это стандартное предположение для задач такого типа, так как иначе упомянутое свойство неприменимо. Будем считать, что $a, b, c$ — различные целые числа.

Применим это свойство к нашему многочлену $P(x)$, используя предполагаемый целый корень $x_0$ и данные числа $a, b, c$.

1. Для пары чисел $(x_0, a)$ разность $P(x_0) - P(a)$ должна делиться на $x_0 - a$.
Вычислим эту разность: $P(x_0) - P(a) = 0 - (-1) = 1$.
Поскольку $x_0$ и $a$ — целые числа, то и их разность $(x_0 - a)$ является целым числом. Так как $(x_0 - a)$ является делителем числа 1, то $(x_0 - a)$ может быть равно только 1 или -1.

2. Аналогично для пары $(x_0, b)$: разность $P(x_0) - P(b) = 0 - (-1) = 1$ должна делиться на $x_0 - b$.
Следовательно, $(x_0 - b)$ также может быть равно только 1 или -1.

3. И для пары $(x_0, c)$: разность $P(x_0) - P(c) = 0 - (-1) = 1$ должна делиться на $x_0 - c$.
Следовательно, $(x_0 - c)$ также может быть равно только 1 или -1.

Таким образом, мы имеем три целых числа: $(x_0 - a)$, $(x_0 - b)$ и $(x_0 - c)$. Каждое из этих чисел может принимать только значения из множества $\{1, -1\}$.

По условию задачи числа $a, b$ и $c$ различны. Это означает, что числа $(x_0 - a)$, $(x_0 - b)$ и $(x_0 - c)$ также должны быть различны. (Действительно, если бы, например, $x_0 - a = x_0 - b$, то отсюда следовало бы, что $a = b$, что противоречит условию).

Итак, мы пришли к выводу, что существуют три различных целых числа, каждое из которых принадлежит множеству $\{1, -1\}$. Но это множество содержит всего два элемента. Согласно принципу Дирихле, невозможно выбрать три различных элемента из множества, содержащего только два элемента.

Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение о существовании целого числа $x_0$, для которого $P(x_0) = 0$, было неверным.

Ответ: не существует такого целого числа $x_0$, что $P(x_0)=0$.