Номер 26.30, страница 219 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 26. Делимость нацело и её свойства - номер 26.30, страница 219.

Условие.

26.30. На какую наибольшую степень числа 2 может делиться нацело значение выражения $3^{2n} + 1$ при $n \in N$?

Решение.

Рассмотрим выражение $3^{2n} + 1$, где $n$ — натуральное число ($n \in \mathbb{N}$). Требуется найти наибольшее значение показателя степени $k$, для которого выражение $3^{2n} + 1$ делится на $2^k$ хотя бы для одного натурального $n$.

Преобразуем данное выражение: $3^{2n} + 1 = (3^2)^n + 1 = 9^n + 1$.

Для того чтобы определить, на какую степень двойки делится это число, рассмотрим его по модулю некоторой степени двойки. Удобно взять модуль 8, так как $9$ дает остаток $1$ при делении на $8$. Запишем это в виде сравнения: $9 \equiv 1 \pmod{8}$.

Согласно свойствам сравнений, мы можем возвести обе части в натуральную степень $n$: $9^n \equiv 1^n \pmod{8}$, что равносильно $9^n \equiv 1 \pmod{8}$.

Теперь прибавим к обеим частям сравнения $1$: $9^n + 1 \equiv 1 + 1 \pmod{8}$ $9^n + 1 \equiv 2 \pmod{8}$.

Таким образом, мы получили, что $3^{2n} + 1 \equiv 2 \pmod{8}$. Это означает, что при делении числа $3^{2n} + 1$ на $8$ в остатке всегда получается $2$. Любое такое число можно представить в виде $8m + 2$ для некоторого целого числа $m \ge 0$.

Рассмотрим это представление: $8m + 2 = 2(4m + 1)$.

Выражение в скобках, $4m + 1$, является нечетным числом при любом целом значении $m$. Следовательно, число $3^{2n} + 1$ всегда является произведением числа $2$ на некоторое нечетное число. Это означает, что в разложении числа $3^{2n} + 1$ на простые множители двойка входит только в первой степени.

Таким образом, для любого натурального $n$ значение выражения $3^{2n} + 1$ делится на $2^1=2$, но не делится на $2^2=4$. Поскольку это утверждение верно для всех натуральных $n$, то наибольшая степень числа 2, на которую может делиться данное выражение, равна 1.

Ответ: 1.