Номер 26.35, страница 219 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 26. Делимость нацело и её свойства - номер 26.35, страница 219.

Условие.

26.35. Дано 19-значное число, десятичная запись которого не содержит нулей. Докажите, что в записи этого числа можно зачеркнуть несколько цифр так, чтобы полученное в результате число было кратным числу 111.

Решение.

Для доказательства данного утверждения применим комбинаторный принцип, известный как принцип Дирихле.

В условии дано 19-значное число. Цифры этого числа можно рассматривать как объекты ("голуби"), общее число которых равно 19. Поскольку в десятичной записи числа нет нулей, каждая цифра может быть одним из девяти значений: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Эти девять возможных значений можно рассматривать как категории ("клетки").

Согласно принципу Дирихле, если 19 объектов распределить по 9 категориям, то по крайней мере в одной категории окажется не менее $\lceil 19/9 \rceil = 3$ объектов. Для нашей задачи это означает, что какая-то одна цифра (обозначим её $d$) в 19-значном числе встречается как минимум три раза.

Найдем в записи исходного числа три экземпляра этой цифры $d$. Зачеркнем все остальные цифры числа (их будет 16), оставив только эти три цифры $d$. Порядок оставшихся цифр сохраняется, поэтому в результате мы получим трехзначное число $\overline{ddd}$.

Вычислим значение этого числа. Оно равно:$ \overline{ddd} = d \cdot 10^2 + d \cdot 10^1 + d \cdot 10^0 = 100d + 10d + d = 111d $

Полученное число $111d$ является произведением целого числа $d$ (где $d \in \{1, 2, ..., 9\}$) и числа 111. Следовательно, оно всегда будет кратно 111.

Таким образом, мы показали, что всегда можно выбрать и оставить три одинаковые цифры, сформировав из них число, кратное 111, что и доказывает исходное утверждение.

Ответ: Утверждение доказано. В любом 19-значном числе без нулей по принципу Дирихле найдется цифра $d$, которая повторяется не менее трех раз. Если зачеркнуть все остальные цифры, оставив только эти три цифры $d$, то получится число $\overline{ddd} = 111 \cdot d$, которое делится на 111.