Номер 26.38, страница 219 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 26. Делимость нацело и её свойства - номер 26.38, страница 219.

Условие.

26.38. В саду растёт более 80, но менее 100 деревьев. Каждое третье дерево — яблоня, а каждое восьмое — груша. Сколько деревьев растёт в саду?

Решение.

Пусть $N$ — общее количество деревьев в саду. Согласно условию, это число больше 80, но меньше 100. Математически это можно записать в виде двойного неравенства: $80 < N < 100$.

Из условия известно, что каждое третье дерево — яблоня. Это означает, что общее количество деревьев $N$ должно быть кратно 3, то есть делиться на 3 без остатка.

Также известно, что каждое восьмое дерево — груша. Это означает, что общее количество деревьев $N$ должно быть кратно 8, то есть делиться на 8 без остатка.

Таким образом, искомое число $N$ должно одновременно делиться и на 3, и на 8. Поскольку числа 3 и 8 взаимно простые (их наибольший общий делитель равен 1), то число $N$ должно быть кратно их произведению, которое является их наименьшим общим кратным (НОК).

Найдем НОК для чисел 3 и 8:
$НОК(3, 8) = 3 \times 8 = 24$.

Теперь нам нужно найти число, кратное 24, которое находится в интервале от 80 до 100. Перечислим числа, кратные 24:
$24 \times 1 = 24$ (не удовлетворяет условию $80 < N < 100$)
$24 \times 2 = 48$ (не удовлетворяет условию)
$24 \times 3 = 72$ (не удовлетворяет условию)
$24 \times 4 = 96$ (удовлетворяет условию, так как $80 < 96 < 100$)
$24 \times 5 = 120$ (не удовлетворяет условию)

Единственное число, удовлетворяющее всем условиям задачи, — это 96.

Ответ: 96