Номер 27.5, страница 226 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 27. Деление с остатком. Сравнения по модулю и их свойства - номер 27.5, страница 226.

Условие.

27.5. Даны попарно непересекающиеся множества A, B, X, причём $A \cup B \cup X = \mathbf{Z}$. Найдите множество X, если $A = \{3k \mid k \in \mathbf{Z}\}$, $B = \{3k+2 \mid k \in \mathbf{Z}\}$.

Решение.

По условию задачи, даны три попарно непересекающихся множества $A$, $B$ и $X$, объединение которых составляет множество всех целых чисел $\mathbb{Z}$. Это означает, что $A \cup B \cup X = \mathbb{Z}$ и $A \cap B = \emptyset$, $A \cap X = \emptyset$, $B \cap X = \emptyset$. Таким образом, эти три множества образуют разбиение множества целых чисел.

Рассмотрим данные множества с точки зрения теории остатков. Любое целое число при делении на 3 может давать один из трех возможных остатков: 0, 1 или 2. Это означает, что всё множество целых чисел $\mathbb{Z}$ можно разбить на три класса:

• Класс чисел, дающих остаток 0 при делении на 3. Это числа вида $3k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
• Класс чисел, дающих остаток 1 при делении на 3. Это числа вида $3k + 1$, где $k \in \mathbb{Z}$.
• Класс чисел, дающих остаток 2 при делении на 3. Это числа вида $3k + 2$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Согласно условию, множество $A$ определено как $A = \{3k \mid k \in \mathbb{Z}\}$. Это в точности множество всех целых чисел, которые делятся на 3, то есть дают остаток 0 при делении на 3.

Множество $B$ определено как $B = \{3k + 2 \mid k \in \mathbb{Z}\}$. Это множество всех целых чисел, которые дают остаток 2 при делении на 3.

Поскольку множества $A$, $B$ и $X$ в совокупности содержат все целые числа и не пересекаются, множество $X$ должно состоять из всех целых чисел, которые не принадлежат ни множеству $A$, ни множеству $B$. Из трех возможных классов остатков от деления на 3 множеством $A$ занят класс с остатком 0, а множеством $B$ — класс с остатком 2. Следовательно, множеству $X$ остается единственный незанятый класс — это целые числа, дающие остаток 1 при делении на 3.

Таким образом, множество $X$ можно определить как множество всех чисел вида $3k + 1$, где $k$ — любое целое число.

Ответ: $X = \{3k + 1 \mid k \in \mathbb{Z}\}$