Номер 27.12, страница 226 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 27. Деление с остатком. Сравнения по модулю и их свойства - номер 27.12, страница 226.

Условие.

27.12. Число $a$ при делении на 6 даёт в остатке 3, а при делении на 4 даёт в остатке 1. Найдите остаток при делении числа $a$ на 12.

Решение.

Из условия, что число $a$ при делении на 6 даёт в остатке 3, мы можем записать его в виде $a = 6k + 3$, где $k$ — некоторое целое число.

Также известно, что число $a$ при делении на 4 даёт в остатке 1. Подставим в это условие наше выражение для $a$. Это означает, что $6k + 3$ должно давать остаток 1 при делении на 4. Запишем это в виде сравнения по модулю 4:

$6k + 3 \equiv 1 \pmod{4}$

Упростим данное сравнение. Поскольку $6$ при делении на 4 даёт в остатке 2 (то есть $6 \equiv 2 \pmod{4}$), мы можем переписать его как:

$2k + 3 \equiv 1 \pmod{4}$

Вычтем 3 из обеих частей:

$2k \equiv 1 - 3 \pmod{4}$

$2k \equiv -2 \pmod{4}$

Поскольку $-2$ при делении на 4 даёт тот же остаток, что и 2 (то есть $-2 \equiv 2 \pmod{4}$), получаем:

$2k \equiv 2 \pmod{4}$

Это сравнение означает, что $2k - 2$ делится на 4. Отсюда следует, что $2(k-1)$ кратно 4, а значит $k-1$ должно быть чётным числом. Мы можем записать $k-1 = 2n$, где $n$ — целое число. Следовательно, $k = 2n + 1$.

Теперь подставим найденное выражение для $k$ в исходную формулу для $a$:

$a = 6k + 3 = 6(2n + 1) + 3 = 12n + 6 + 3 = 12n + 9$

Выражение $a = 12n + 9$ показывает, что при делении числа $a$ на 12 в остатке получается 9.

Ответ: 9