Номер 27.18, страница 226 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 27. Деление с остатком. Сравнения по модулю и их свойства - номер 27.18, страница 226.

Условие.

27.18. Известно, что $a \equiv -4 \pmod{6}$, $b \equiv -9 \pmod{6}$. Найдите остаток при делении на 6 числа:

1) $3a + 4b$;

2) $a^2 - b$;

3) $b^2 + ba$.

Решение.

Даны сравнения: $a \equiv -4 \pmod{6}$ и $b \equiv -9 \pmod{6}$. Сначала найдем наименьшие неотрицательные остатки для $a$ и $b$ при делении на 6, чтобы упростить вычисления. Для этого к числам можно прибавлять или отнимать число, кратное модулю (в данном случае 6).

Для числа $a$:
$a \equiv -4 \pmod{6}$
$a \equiv -4 + 6 \pmod{6}$
$a \equiv 2 \pmod{6}$

Для числа $b$:
$b \equiv -9 \pmod{6}$
$b \equiv -9 + 2 \cdot 6 \pmod{6}$
$b \equiv -9 + 12 \pmod{6}$
$b \equiv 3 \pmod{6}$

Теперь, используя свойства сравнений, найдем остатки для заданных выражений.

1) 3a + 4b;
Подставим найденные сравнения в выражение:
$3a + 4b \equiv 3 \cdot 2 + 4 \cdot 3 \pmod{6}$
$3a + 4b \equiv 6 + 12 \pmod{6}$
$3a + 4b \equiv 18 \pmod{6}$
Так как 18 делится на 6 без остатка ($18 = 3 \cdot 6 + 0$), то:
$18 \equiv 0 \pmod{6}$
Следовательно, остаток от деления числа $3a + 4b$ на 6 равен 0.
Ответ: 0

2) a² - b;
Подставим значения в выражение:
$a^2 - b \equiv 2^2 - 3 \pmod{6}$
$a^2 - b \equiv 4 - 3 \pmod{6}$
$a^2 - b \equiv 1 \pmod{6}$
Следовательно, остаток от деления числа $a^2 - b$ на 6 равен 1.
Ответ: 1

3) b² + ba.
Подставим значения в выражение:
$b^2 + ba \equiv 3^2 + 3 \cdot 2 \pmod{6}$
$b^2 + ba \equiv 9 + 6 \pmod{6}$
$b^2 + ba \equiv 15 \pmod{6}$
Найдем остаток от деления 15 на 6: $15 = 2 \cdot 6 + 3$.
$15 \equiv 3 \pmod{6}$
Следовательно, остаток от деления числа $b^2 + ba$ на 6 равен 3.
Ответ: 3