Номер 27.23, страница 227 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 27. Деление с остатком. Сравнения по модулю и их свойства - номер 27.23, страница 227.

Условие.

27.23. Докажите, что куб целого числа при делении на 9 даёт в остатке 0, 1 или 8.

Решение.

Для доказательства данного утверждения рассмотрим остаток от деления произвольного целого числа $n$ на 3. Любое целое число $n$ можно представить в одном из трёх видов: $n=3k$, $n=3k+1$ или $n=3k+2$, где $k$ — некоторое целое число. Рассмотрим куб числа для каждого из этих трёх случаев.

Случай 1: Число $n$ имеет вид $n = 3k$.
Возведём это выражение в куб:
$n^3 = (3k)^3 = 27k^3 = 9 \cdot (3k^3)$.
Так как выражение $3k^3$ является целым, то $n^3$ делится на 9 без остатка. Остаток от деления равен 0.

Случай 2: Число $n$ имеет вид $n = 3k+1$.
Возведём это выражение в куб, используя формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$:
$n^3 = (3k+1)^3 = (3k)^3 + 3 \cdot (3k)^2 \cdot 1 + 3 \cdot (3k) \cdot 1^2 + 1^3 = 27k^3 + 27k^2 + 9k + 1$.
Сгруппируем слагаемые, кратные 9:
$n^3 = 9(3k^3 + 3k^2 + k) + 1$.
Выражение в скобках является целым числом, следовательно, при делении $n^3$ на 9 получается остаток 1.

Случай 3: Число $n$ имеет вид $n = 3k+2$.
Возведём это выражение в куб:
$n^3 = (3k+2)^3 = (3k)^3 + 3 \cdot (3k)^2 \cdot 2 + 3 \cdot (3k) \cdot 2^2 + 2^3 = 27k^3 + 54k^2 + 36k + 8$.
Сгруппируем слагаемые, кратные 9:
$n^3 = 9(3k^3 + 6k^2 + 4k) + 8$.
Выражение в скобках является целым числом, следовательно, при делении $n^3$ на 9 получается остаток 8.

Мы рассмотрели все три возможных случая, которые охватывают все целые числа. В каждом случае остаток от деления куба числа на 9 равен 0, 1 или 8, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что куб целого числа при делении на 9 даёт в остатке 0, 1 или 8.