Номер 27.28, страница 227 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 27. Деление с остатком. Сравнения по модулю и их свойства - номер 27.28, страница 227.

Условие.

27.28. Решите в целых числах уравнение:

1) $x^2 - 3y = 8;$

2) $x^2 - 4y^3 = 11;$

3) $m^3 - 7n^2 = 19;$

4) $z^3 - 9t = 16.$

Решение.

1) $x^2 - 3y = 8$

Перепишем уравнение, выразив $y$ через $x$:
$3y = x^2 - 8$
$y = \frac{x^2 - 8}{3}$

Поскольку $x$ и $y$ должны быть целыми числами, выражение $x^2 - 8$ должно быть кратно 3. Это означает, что $x^2 - 8$ должно давать остаток 0 при делении на 3. Запишем это в виде сравнения по модулю 3:
$x^2 - 8 \equiv 0 \pmod{3}$

Так как $8 \equiv 2 \pmod{3}$, сравнение принимает вид:
$x^2 \equiv 2 \pmod{3}$

Проверим, какие остатки могут давать квадраты целых чисел при делении на 3.
Если $x \equiv 0 \pmod{3}$, то $x^2 \equiv 0^2 \equiv 0 \pmod{3}$.
Если $x \equiv 1 \pmod{3}$, то $x^2 \equiv 1^2 \equiv 1 \pmod{3}$.
Если $x \equiv 2 \pmod{3}$, то $x^2 \equiv 2^2 = 4 \equiv 1 \pmod{3}$.

Таким образом, квадрат любого целого числа при делении на 3 может давать в остатке только 0 или 1. Остаток 2 невозможен. Следовательно, сравнение $x^2 \equiv 2 \pmod{3}$ не имеет решений в целых числах, а значит, и исходное уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: Решений в целых числах нет.

2) $x^2 - 4y^3 = 11$

Рассмотрим это уравнение по модулю 4.
$x^2 - 4y^3 \equiv 11 \pmod{4}$

Поскольку $4y^3$ делится на 4, то $4y^3 \equiv 0 \pmod{4}$. Число 11 при делении на 4 дает остаток 3, то есть $11 \equiv 3 \pmod{4}$.
Подставив это в сравнение, получим:
$x^2 - 0 \equiv 3 \pmod{4}$
$x^2 \equiv 3 \pmod{4}$

Проверим, какие остатки могут давать квадраты целых чисел при делении на 4.
Если $x$ — четное число, то $x = 2k$ для некоторого целого $k$. Тогда $x^2 = (2k)^2 = 4k^2 \equiv 0 \pmod{4}$.
Если $x$ — нечетное число, то $x = 2k + 1$ для некоторого целого $k$. Тогда $x^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 4(k^2+k) + 1 \equiv 1 \pmod{4}$.

Таким образом, квадрат любого целого числа при делении на 4 может давать в остатке только 0 или 1. Остаток 3 невозможен. Следовательно, сравнение $x^2 \equiv 3 \pmod{4}$ не имеет решений, а значит, и исходное уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: Решений в целых числах нет.

3) $m^3 - 7n^2 = 19$

Рассмотрим это уравнение по модулю 7.
$m^3 - 7n^2 \equiv 19 \pmod{7}$

Поскольку $7n^2$ делится на 7, то $7n^2 \equiv 0 \pmod{7}$. Число 19 при делении на 7 дает остаток 5, так как $19 = 2 \cdot 7 + 5$. То есть $19 \equiv 5 \pmod{7}$.
Сравнение принимает вид:
$m^3 - 0 \equiv 5 \pmod{7}$
$m^3 \equiv 5 \pmod{7}$

Проверим, какие остатки могут давать кубы целых чисел при делении на 7.
$0^3 \equiv 0 \pmod{7}$
$1^3 \equiv 1 \pmod{7}$
$2^3 = 8 \equiv 1 \pmod{7}$
$3^3 = 27 \equiv 6 \pmod{7}$
$4^3 = 64 \equiv 1 \pmod{7}$
$5^3 = 125 \equiv 6 \pmod{7}$
$6^3 \equiv (-1)^3 = -1 \equiv 6 \pmod{7}$

Возможные остатки от деления куба целого числа на 7 — это 0, 1 и 6. Остаток 5 невозможен. Следовательно, сравнение $m^3 \equiv 5 \pmod{7}$ не имеет решений, а значит, и исходное уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: Решений в целых числах нет.

4) $z^3 - 9t = 16$

Рассмотрим это уравнение по модулю 9.
$z^3 - 9t \equiv 16 \pmod{9}$

Поскольку $9t$ делится на 9, то $9t \equiv 0 \pmod{9}$. Число 16 при делении на 9 дает остаток 7, так как $16 = 1 \cdot 9 + 7$. То есть $16 \equiv 7 \pmod{9}$.
Сравнение принимает вид:
$z^3 - 0 \equiv 7 \pmod{9}$
$z^3 \equiv 7 \pmod{9}$

Проверим, какие остатки могут давать кубы целых чисел при делении на 9. Любое целое число $z$ можно представить в виде $3k$, $3k+1$ или $3k-1$.
Если $z = 3k$, то $z^3 = (3k)^3 = 27k^3 \equiv 0 \pmod{9}$.
Если $z = 3k+1$, то $z^3 = (3k+1)^3 = (3k)^3 + 3(3k)^2(1) + 3(3k)(1)^2 + 1^3 = 27k^3 + 27k^2 + 9k + 1 \equiv 1 \pmod{9}$.
Если $z = 3k-1$, то $z^3 = (3k-1)^3 = (3k)^3 - 3(3k)^2(1) + 3(3k)(1)^2 - 1^3 = 27k^3 - 27k^2 + 9k - 1 \equiv -1 \equiv 8 \pmod{9}$.

Таким образом, куб любого целого числа при делении на 9 может давать в остатке только 0, 1 или 8. Остаток 7 невозможен. Следовательно, сравнение $z^3 \equiv 7 \pmod{9}$ не имеет решений, а значит, и исходное уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: Решений в целых числах нет.