Номер 27.32, страница 227 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 27. Деление с остатком. Сравнения по модулю и их свойства - номер 27.32, страница 227.

Условие.

27.32. Найдите остаток при делении числа a на число b, если:

1) $a = 5^{99}, b = 3;$

2) $a = 7^{36}, b = 4;$

3) $a = 3^{101}, b = 7;$

4) $a = 3^{70} + 2^{52}, b = 5.$

Решение.

1) Для нахождения остатка от деления числа $a = 5^{99}$ на $b = 3$ воспользуемся арифметикой сравнений.
Сначала найдем остаток от деления основания степени, числа 5, на 3:
$5 \equiv 2 \pmod 3$.
Так как $2 \equiv 2 - 3 \equiv -1 \pmod 3$, удобнее использовать сравнение $5 \equiv -1 \pmod 3$.
Возведем обе части сравнения в степень 99:
$5^{99} \equiv (-1)^{99} \pmod 3$.
Поскольку 99 — нечетное число, $(-1)^{99} = -1$.
Следовательно, $5^{99} \equiv -1 \pmod 3$.
Остаток должен быть неотрицательным числом, меньшим делителя. Преобразуем $-1$ к стандартному положительному остатку:
$-1 \equiv -1 + 3 \equiv 2 \pmod 3$.
Таким образом, остаток от деления $5^{99}$ на 3 равен 2.
Ответ: 2

2) Найдем остаток от деления $a = 7^{36}$ на $b = 4$.
Найдем остаток от деления 7 на 4:
$7 \equiv 3 \pmod 4$.
Используем эквивалентное сравнение $3 \equiv -1 \pmod 4$, что дает $7 \equiv -1 \pmod 4$.
Возведем обе части в степень 36:
$7^{36} \equiv (-1)^{36} \pmod 4$.
Поскольку 36 — четное число, $(-1)^{36} = 1$.
Следовательно, $7^{36} \equiv 1 \pmod 4$.
Остаток равен 1.
Ответ: 1

3) Найдем остаток от деления $a = 3^{101}$ на $b = 7$.
Рассмотрим остатки от деления первых нескольких степеней числа 3 на 7, чтобы найти закономерность или удобное сравнение:
$3^1 \equiv 3 \pmod 7$
$3^2 = 9 \equiv 2 \pmod 7$
$3^3 = 3^2 \cdot 3 \equiv 2 \cdot 3 = 6 \equiv -1 \pmod 7$.
Использование сравнения $3^3 \equiv -1 \pmod 7$ упрощает вычисления.
Представим показатель степени 101 через 3. Для этого разделим 101 на 3 с остатком:
$101 = 3 \cdot 33 + 2$.
Тогда $3^{101} = 3^{3 \cdot 33 + 2} = (3^3)^{33} \cdot 3^2$.
Теперь перейдем к сравнениям по модулю 7:
$3^{101} \equiv (-1)^{33} \cdot 3^2 \pmod 7$.
Так как 33 — нечетное число, $(-1)^{33} = -1$. Также мы знаем, что $3^2 = 9 \equiv 2 \pmod 7$.
$3^{101} \equiv -1 \cdot 2 \equiv -2 \pmod 7$.
Приведем остаток к стандартному виду (неотрицательное число от 0 до 6):
$-2 \equiv -2 + 7 \equiv 5 \pmod 7$.
Остаток равен 5.
Ответ: 5

4) Найдем остаток от деления $a = 3^{70} + 2^{52}$ на $b = 5$.
Остаток от деления суммы равен сумме остатков от деления слагаемых. Найдем остатки для каждого слагаемого по отдельности.
Первое слагаемое: найдем остаток от деления $3^{70}$ на 5.
Рассмотрим степени 3 по модулю 5:
$3^1 \equiv 3 \pmod 5$
$3^2 = 9 \equiv 4 \equiv -1 \pmod 5$.
Представим 70 как $70 = 2 \cdot 35$.
$3^{70} = (3^2)^{35} \equiv (-1)^{35} \pmod 5$.
Так как 35 — нечетное число, $(-1)^{35} = -1$.
$3^{70} \equiv -1 \equiv 4 \pmod 5$.
Второе слагаемое: найдем остаток от деления $2^{52}$ на 5.
Рассмотрим степени 2 по модулю 5:
$2^1 \equiv 2 \pmod 5$
$2^2 = 4 \equiv -1 \pmod 5$.
Представим 52 как $52 = 2 \cdot 26$.
$2^{52} = (2^2)^{26} \equiv (-1)^{26} \pmod 5$.
Так как 26 — четное число, $(-1)^{26} = 1$.
$2^{52} \equiv 1 \pmod 5$.
Сумма остатков:
$a = 3^{70} + 2^{52} \equiv 4 + 1 \pmod 5$.
$a \equiv 5 \pmod 5$.
$a \equiv 0 \pmod 5$.
Остаток равен 0.
Ответ: 0