Номер 27.27, страница 227 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 27. Деление с остатком. Сравнения по модулю и их свойства - номер 27.27, страница 227.

Условие.

27.27. Известно, что $(m^2 + n^2) \vdots 7$. Докажите, что $(m^2 + n^2) \vdots 49$.

Решение.

Для доказательства воспользуемся алгебраическим тождеством, связывающим сумму четвертых степеней с квадратом суммы квадратов: $m^4 + n^4 = (m^2 + n^2)^2 - 2m^2n^2$.

По условию задачи, $(m^2 + n^2)$ делится на 7. Обозначим это как $(m^2 + n^2) \vdots 7$. Это означает, что существует такое целое число $k$, что $m^2 + n^2 = 7k$.

Подставим это выражение в тождество: $m^4 + n^4 = (7k)^2 - 2m^2n^2 = 49k^2 - 2(mn)^2$.

Первое слагаемое, $49k^2$, очевидно, делится на 49. Следовательно, выражение $m^4 + n^4$ будет делиться на 49 тогда и только тогда, когда второе слагаемое, $2(mn)^2$, также делится на 49.

Поскольку числа 2 и 49 взаимно просты, условие $2(mn)^2 \vdots 49$ эквивалентно условию $(mn)^2 \vdots 49$. Так как $49 = 7^2$ и 7 — простое число, это, в свою очередь, эквивалентно тому, что $mn \vdots 7$.

Теперь докажем, что из условия $(m^2 + n^2) \vdots 7$ следует, что $mn \vdots 7$. Для этого рассмотрим, какие остатки может давать квадрат целого числа при делении на 7. Возможные остатки от деления целого числа на 7: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Квадраты этих чисел по модулю 7 дают следующие остатки: $0^2 \equiv 0$, $1^2 \equiv 1$, $2^2 \equiv 4$, $3^2 \equiv 9 \equiv 2$, $4^2 \equiv 16 \equiv 2$, $5^2 \equiv 25 \equiv 4$, $6^2 \equiv 36 \equiv 1$. Таким образом, множество возможных остатков от деления квадрата целого числа на 7 есть $\{0, 1, 2, 4\}$.

Для того чтобы сумма $m^2 + n^2$ делилась на 7, сумма остатков от деления $m^2$ и $n^2$ на 7 также должна делиться на 7. Единственная комбинация остатков из множества $\{0, 1, 2, 4\}$, которая дает в сумме число, кратное 7, — это $0+0$.

Это означает, что $m^2 \vdots 7$ и $n^2 \vdots 7$. Поскольку 7 — простое число, из $m^2 \vdots 7$ следует $m \vdots 7$, и из $n^2 \vdots 7$ следует $n \vdots 7$.

Если хотя бы одно из чисел, $m$ или $n$, делится на 7, то их произведение $mn$ также делится на 7. Мы доказали, что оба числа делятся на 7, поэтому это условие выполняется.

Так как $mn \vdots 7$, то, как мы установили ранее, $(mn)^2 \vdots 49$, и, следовательно, $2(mn)^2 \vdots 49$. Поскольку оба слагаемых в выражении $49k^2 - 2(mn)^2$ делятся на 49, то и их разность, равная $m^4 + n^4$, делится на 49.

Ответ: Утверждение доказано.