Номер 27.31, страница 227 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 27. Деление с остатком. Сравнения по модулю и их свойства - номер 27.31, страница 227.

Условие.

27.31. Используя сравнения по модулю, докажите, что при любом натуральном значении $n$ значение выражения:

1) $17^n + 25 \cdot 4^n$ кратно 13;

2) $16^n + 4^{2n + 1}$ кратно 5;

3) $15^n + 2^{3n} - 30$ кратно 7;

4) $6^{2n} + 3^{n + 2} + 3^n$ кратно 11;

5) $17 \cdot 21^{2n + 1} + 9 \cdot 43^{2n + 1}$ кратно 8;

6) $2^{5n + 3} + 5^n \cdot 3^{n + 2}$ кратно 17.

Решение.

1) Докажем, что выражение $17^n + 25 \cdot 4^n$ кратно 13 при любом натуральном $n$. Для этого нужно показать, что $17^n + 25 \cdot 4^n \equiv 0 \pmod{13}$.
Рассмотрим компоненты выражения по модулю 13:
$17 = 1 \cdot 13 + 4 \implies 17 \equiv 4 \pmod{13}$.
$25 = 1 \cdot 13 + 12 \implies 25 \equiv 12 \pmod{13}$, или что то же самое, $25 \equiv -1 \pmod{13}$.
Теперь подставим эти сравнения в исходное выражение:
$17^n + 25 \cdot 4^n \equiv 4^n + (-1) \cdot 4^n \pmod{13}$.
$4^n - 4^n \equiv 0 \pmod{13}$.
Сравнение верно, значит, и исходное утверждение доказано.
Ответ: Доказано, что $17^n + 25 \cdot 4^n$ кратно 13.

2) Докажем, что выражение $16^n + 4^{2n+1}$ кратно 5. Это эквивалентно доказательству сравнения $16^n + 4^{2n+1} \equiv 0 \pmod{5}$.
Рассмотрим компоненты выражения по модулю 5:
$16 = 3 \cdot 5 + 1 \implies 16 \equiv 1 \pmod{5}$.
$4 \equiv -1 \pmod{5}$.
Подставим эти сравнения в выражение:
$16^n + 4^{2n+1} \equiv 1^n + (-1)^{2n+1} \pmod{5}$.
Поскольку $n$ — натуральное число, показатель $2n+1$ всегда является нечетным. Для любого нечетного $k$ справедливо $(-1)^k = -1$.
Следовательно, $1^n + (-1)^{2n+1} \equiv 1 + (-1) \equiv 0 \pmod{5}$.
Утверждение доказано.
Ответ: Доказано, что $16^n + 4^{2n+1}$ кратно 5.

3) Докажем, что выражение $15^n + 2^{3n} - 30$ кратно 7. Это означает, что нужно доказать $15^n + 2^{3n} - 30 \equiv 0 \pmod{7}$.
Преобразуем второй член: $2^{3n} = (2^3)^n = 8^n$.
Теперь выражение имеет вид $15^n + 8^n - 30$.
Рассмотрим компоненты выражения по модулю 7:
$15 = 2 \cdot 7 + 1 \implies 15 \equiv 1 \pmod{7}$.
$8 = 1 \cdot 7 + 1 \implies 8 \equiv 1 \pmod{7}$.
$30 = 4 \cdot 7 + 2 \implies 30 \equiv 2 \pmod{7}$.
Подставим эти значения:
$15^n + 8^n - 30 \equiv 1^n + 1^n - 2 \pmod{7}$.
$1 + 1 - 2 \equiv 0 \pmod{7}$.
Утверждение доказано.
Ответ: Доказано, что $15^n + 2^{3n} - 30$ кратно 7.

4) Докажем, что выражение $6^{2n} + 3^{n+2} + 3^n$ кратно 11. Докажем сравнение $6^{2n} + 3^{n+2} + 3^n \equiv 0 \pmod{11}$.
Упростим исходное выражение:
$6^{2n} + 3^{n+2} + 3^n = (6^2)^n + 3^n \cdot 3^2 + 3^n = 36^n + 9 \cdot 3^n + 3^n = 36^n + (9+1) \cdot 3^n = 36^n + 10 \cdot 3^n$.
Рассмотрим компоненты по модулю 11:
$36 = 3 \cdot 11 + 3 \implies 36 \equiv 3 \pmod{11}$.
$10 \equiv -1 \pmod{11}$.
Подставим в преобразованное выражение:
$36^n + 10 \cdot 3^n \equiv 3^n + (-1) \cdot 3^n \pmod{11}$.
$3^n - 3^n \equiv 0 \pmod{11}$.
Утверждение доказано.
Ответ: Доказано, что $6^{2n} + 3^{n+2} + 3^n$ кратно 11.

5) Докажем, что выражение $17 \cdot 21^{2n+1} + 9 \cdot 43^{2n+1}$ кратно 8. Докажем сравнение $17 \cdot 21^{2n+1} + 9 \cdot 43^{2n+1} \equiv 0 \pmod{8}$.
Рассмотрим компоненты по модулю 8:
$17 = 2 \cdot 8 + 1 \implies 17 \equiv 1 \pmod{8}$.
$21 = 2 \cdot 8 + 5 \implies 21 \equiv 5 \pmod{8}$.
$9 = 1 \cdot 8 + 1 \implies 9 \equiv 1 \pmod{8}$.
$43 = 5 \cdot 8 + 3 \implies 43 \equiv 3 \pmod{8}$.
Подставим в выражение:
$17 \cdot 21^{2n+1} + 9 \cdot 43^{2n+1} \equiv 1 \cdot 5^{2n+1} + 1 \cdot 3^{2n+1} \pmod{8}$.
Получаем $5^{2n+1} + 3^{2n+1} \pmod{8}$.
Заметим, что $5 \equiv -3 \pmod{8}$. Тогда:
$5^{2n+1} \equiv (-3)^{2n+1} \pmod{8}$.
Поскольку $2n+1$ — нечетное число, $(-3)^{2n+1} = -3^{2n+1}$.
Следовательно, $5^{2n+1} + 3^{2n+1} \equiv -3^{2n+1} + 3^{2n+1} \equiv 0 \pmod{8}$.
Утверждение доказано.
Ответ: Доказано, что $17 \cdot 21^{2n+1} + 9 \cdot 43^{2n+1}$ кратно 8.

6) Докажем, что выражение $2^{5n+3} + 5^n \cdot 3^{n+2}$ кратно 17. Докажем сравнение $2^{5n+3} + 5^n \cdot 3^{n+2} \equiv 0 \pmod{17}$.
Упростим выражение:
$2^{5n+3} + 5^n \cdot 3^{n+2} = 2^{5n} \cdot 2^3 + 5^n \cdot 3^n \cdot 3^2 = (2^5)^n \cdot 8 + (5 \cdot 3)^n \cdot 9 = 32^n \cdot 8 + 15^n \cdot 9$.
Рассмотрим компоненты по модулю 17:
$32 = 1 \cdot 17 + 15 \implies 32 \equiv 15 \pmod{17}$.
Подставим в преобразованное выражение:
$32^n \cdot 8 + 15^n \cdot 9 \equiv 15^n \cdot 8 + 15^n \cdot 9 \pmod{17}$.
$\equiv 15^n \cdot (8 + 9) \pmod{17}$.
$\equiv 15^n \cdot 17 \pmod{17}$.
Поскольку $17 \equiv 0 \pmod{17}$, то $15^n \cdot 17 \equiv 15^n \cdot 0 \equiv 0 \pmod{17}$.
Утверждение доказано.
Ответ: Доказано, что $2^{5n+3} + 5^n \cdot 3^{n+2}$ кратно 17.