Номер 27.35, страница 227 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 27. Деление с остатком. Сравнения по модулю и их свойства - номер 27.35, страница 227.

Условие.

27.35. Докажите, что среди чисел вида $4^n + 4^m$ (m и n — натуральные числа) нет ни одного квадрата натурального числа.

Решение.

Требуется доказать, что число вида $A = 4^n + 4^m$, где $m$ и $n$ — натуральные числа, не является квадратом натурального числа.

Представим число $A$ в виде степеней двойки:

$A = (2^2)^n + (2^2)^m = 2^{2n} + 2^{2m}$

Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: $m = n$

Если $m = n$, то выражение для $A$ принимает вид:

$A = 4^n + 4^n = 2 \cdot 4^n = 2 \cdot (2^2)^n = 2 \cdot 2^{2n} = 2^{2n+1}$

Для того чтобы число было полным квадратом, все показатели степеней в его разложении на простые множители должны быть четными. В данном случае, показатель степени у простого множителя 2 равен $2n+1$. Поскольку $n$ — натуральное число, $2n$ является четным числом, а $2n+1$ — нечетным. Так как показатель степени нечетный, число $A$ не является квадратом натурального числа.

Ответ: При $m=n$ число $4^n + 4^m$ не является квадратом натурального числа.

Случай 2: $m \neq n$

Пусть $m \neq n$. Без ограничения общности, предположим, что $m < n$. Тогда мы можем вынести за скобки общий множитель $4^m$:

$A = 4^m + 4^n = 4^m(1 + 4^{n-m})$

Множитель $4^m$ является полным квадратом, так как $4^m = (2^2)^m = (2^m)^2$.

$A = (2^m)^2 (1 + 4^{n-m})$

Чтобы произведение $A$ было полным квадратом, необходимо, чтобы второй множитель $(1 + 4^{n-m})$ также был полным квадратом. Обозначим $d = n-m$. Так как $m$ и $n$ — натуральные числа и $n > m$, то $d$ также является натуральным числом, то есть $d \ge 1$.

Проверим, может ли выражение $1 + 4^d$ быть квадратом натурального числа. Предположим, что это так, то есть существует натуральное число $k$ такое, что:

$1 + 4^d = k^2$

Перенесем $4^d$ в правую часть:

$1 = k^2 - 4^d$

$1 = k^2 - (2^d)^2$

Разложим правую часть по формуле разности квадратов:

$1 = (k - 2^d)(k + 2^d)$

Поскольку $k$ и $d$ — натуральные числа, то $k - 2^d$ и $k + 2^d$ являются целыми числами. Произведение двух целых чисел равно 1 только в двух случаях: оба числа равны 1 или оба равны -1.

Рассмотрим систему: $k - 2^d = 1$ и $k + 2^d = 1$. Вычитая из второго уравнения первое, получаем: $(k + 2^d) - (k - 2^d) = 1 - 1$, что дает $2 \cdot 2^d = 0$ или $2^{d+1} = 0$. Это уравнение не имеет решений в натуральных числах.

Рассмотрим систему: $k - 2^d = -1$ и $k + 2^d = -1$. Складывая эти уравнения, получаем $2k = -2$, то есть $k = -1$. Но $k$ должно быть натуральным числом, поэтому этот случай невозможен.

Кроме того, можно заметить, что для любого натурального $d \ge 1$ число $(2^d)^2 = 4^d$ является полным квадратом. Следующий за ним полный квадрат — это $(2^d + 1)^2 = (2^d)^2 + 2 \cdot 2^d + 1 = 4^d + 2^{d+1} + 1$.

Наше число $1 + 4^d$ находится между двумя последовательными квадратами:

$(2^d)^2 < 1 + 4^d < (2^d+1)^2$ (неравенство $1+4^d < (2^d+1)^2$ верно, так как $1 < 2^{d+1}+1$ для $d \ge 1$).

Поскольку число $1 + 4^d$ находится строго между двумя последовательными квадратами, оно само не может быть квадратом.

Таким образом, наше предположение неверно, и выражение $1 + 4^{n-m}$ не может быть квадратом натурального числа. Следовательно, и число $A = (2^m)^2 (1 + 4^{n-m})$ не является полным квадратом.

Ответ: При $m \neq n$ число $4^n + 4^m$ не является квадратом натурального числа.

Мы рассмотрели все возможные случаи ($m=n$ и $m \neq n$) и в каждом из них показали, что число вида $4^n + 4^m$ не является квадратом натурального числа. Таким образом, утверждение доказано.