Номер 27.30, страница 227 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 27. Деление с остатком. Сравнения по модулю и их свойства - номер 27.30, страница 227.

Условие.

27.30. Используя сравнения по модулю, докажите, что при любом натуральном значении $n$ значение выражения:

1) $11^n + 14 \cdot 6^n$ кратно 5;

2) $3^{2n} + 11 \cdot 5^n$ кратно 4;

3) $21^n + 2^{2n+4}$ кратно 17;

4) $4 \cdot 13^n + 37^n + 1$ кратно 6;

5) $5^{2n+1} + 2^{2n+4} + 2^{n+1}$ кратно 23;

6) $3^{3n+2} + 5 \cdot 2^{3n+1}$ кратно 19;

7) $5^n + 8^n - 2^{n+1}$ кратно 3;

8) $2^{n+5} \cdot 3^{4n} + 5^{3n+1}$ кратно 37.

Решение.

1) Докажем, что выражение $11^n + 14 \cdot 6^n$ кратно 5 при любом натуральном $n$.
Для этого рассмотрим данное выражение по модулю 5. Используем свойства сравнений.
Найдем остатки от деления на 5 для чисел 11, 14 и 6:
$11 \equiv 1 \pmod{5}$
$14 \equiv 4 \equiv -1 \pmod{5}$
$6 \equiv 1 \pmod{5}$
Теперь подставим эти сравнения в исходное выражение:
$11^n + 14 \cdot 6^n \equiv 1^n + (-1) \cdot 1^n \pmod{5}$
Так как $1^n = 1$ для любого натурального $n$, получаем:
$1 + (-1) \cdot 1 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \pmod{5}$
Поскольку выражение сравнимо с 0 по модулю 5, оно кратно 5.
Ответ: Доказано.

2) Докажем, что выражение $3^{2n} + 11 \cdot 5^n$ кратно 4 при любом натуральном $n$.
Рассмотрим выражение по модулю 4. Преобразуем первое слагаемое: $3^{2n} = (3^2)^n = 9^n$.
Найдем остатки от деления на 4 для чисел 9, 11 и 5:
$9 \equiv 1 \pmod{4}$
$11 \equiv 3 \pmod{4}$
$5 \equiv 1 \pmod{4}$
Подставим эти сравнения в выражение $9^n + 11 \cdot 5^n$:
$9^n + 11 \cdot 5^n \equiv 1^n + 3 \cdot 1^n \pmod{4}$
$1 + 3 \cdot 1 \equiv 1 + 3 \equiv 4 \equiv 0 \pmod{4}$
Поскольку выражение сравнимо с 0 по модулю 4, оно кратно 4.
Ответ: Доказано.

3) Докажем, что выражение $21^n + 2^{2n+4}$ кратно 17 при любом натуральном $n$.
Рассмотрим выражение по модулю 17. Преобразуем второе слагаемое: $2^{2n+4} = 2^{2n} \cdot 2^4 = (2^2)^n \cdot 16 = 4^n \cdot 16$.
Найдем остатки от деления на 17 для чисел 21 и 16:
$21 \equiv 4 \pmod{17}$
$16 \equiv -1 \pmod{17}$
Подставим эти сравнения в выражение $21^n + 16 \cdot 4^n$:
$21^n + 16 \cdot 4^n \equiv 4^n + (-1) \cdot 4^n \pmod{17}$
$4^n - 4^n \equiv 0 \pmod{17}$
Поскольку выражение сравнимо с 0 по модулю 17, оно кратно 17.
Ответ: Доказано.

4) Докажем, что выражение $4 \cdot 13^n + 37^n + 1$ кратно 6 при любом натуральном $n$.
Рассмотрим выражение по модулю 6.
Найдем остатки от деления на 6 для чисел 13 и 37:
$13 = 2 \cdot 6 + 1 \implies 13 \equiv 1 \pmod{6}$
$37 = 6 \cdot 6 + 1 \implies 37 \equiv 1 \pmod{6}$
Подставим эти сравнения в исходное выражение:
$4 \cdot 13^n + 37^n + 1 \equiv 4 \cdot 1^n + 1^n + 1 \pmod{6}$
$4 \cdot 1 + 1 + 1 \equiv 4 + 1 + 1 \equiv 6 \equiv 0 \pmod{6}$
Поскольку выражение сравнимо с 0 по модулю 6, оно кратно 6.
Ответ: Доказано.

5) Докажем, что выражение $5^{2n+1} + 2^{n+4} + 2^{n+1}$ кратно 23 при любом натуральном $n$.
Рассмотрим выражение по модулю 23. Преобразуем его:
$5^{2n+1} + 2^{n+4} + 2^{n+1} = 5 \cdot 5^{2n} + 2^4 \cdot 2^n + 2 \cdot 2^n = 5 \cdot (5^2)^n + 16 \cdot 2^n + 2 \cdot 2^n = 5 \cdot 25^n + (16+2) \cdot 2^n = 5 \cdot 25^n + 18 \cdot 2^n$.
Найдем остаток от деления 25 на 23:
$25 \equiv 2 \pmod{23}$
Подставим это сравнение в преобразованное выражение:
$5 \cdot 25^n + 18 \cdot 2^n \equiv 5 \cdot 2^n + 18 \cdot 2^n \pmod{23}$
$(5+18) \cdot 2^n \equiv 23 \cdot 2^n \pmod{23}$
Так как $23 \equiv 0 \pmod{23}$, то:
$0 \cdot 2^n \equiv 0 \pmod{23}$
Поскольку выражение сравнимо с 0 по модулю 23, оно кратно 23.
Ответ: Доказано.

6) Докажем, что выражение $3^{3n+2} + 5 \cdot 2^{3n+1}$ кратно 19 при любом натуральном $n$.
Рассмотрим выражение по модулю 19. Преобразуем его:
$3^{3n+2} + 5 \cdot 2^{3n+1} = 3^2 \cdot 3^{3n} + 5 \cdot 2 \cdot 2^{3n} = 9 \cdot (3^3)^n + 10 \cdot (2^3)^n = 9 \cdot 27^n + 10 \cdot 8^n$.
Найдем остаток от деления 27 на 19:
$27 = 1 \cdot 19 + 8 \implies 27 \equiv 8 \pmod{19}$
Подставим это сравнение в преобразованное выражение:
$9 \cdot 27^n + 10 \cdot 8^n \equiv 9 \cdot 8^n + 10 \cdot 8^n \pmod{19}$
$(9+10) \cdot 8^n \equiv 19 \cdot 8^n \pmod{19}$
Так как $19 \equiv 0 \pmod{19}$, то:
$0 \cdot 8^n \equiv 0 \pmod{19}$
Поскольку выражение сравнимо с 0 по модулю 19, оно кратно 19.
Ответ: Доказано.

7) Докажем, что выражение $5^n + 8^n - 2^{n+1}$ кратно 3 при любом натуральном $n$.
Рассмотрим выражение по модулю 3. Преобразуем его: $5^n + 8^n - 2 \cdot 2^n$.
Найдем остатки от деления на 3 для чисел 5 и 8:
$5 \equiv 2 \pmod{3}$
$8 \equiv 2 \pmod{3}$
Подставим эти сравнения в выражение:
$5^n + 8^n - 2 \cdot 2^n \equiv 2^n + 2^n - 2 \cdot 2^n \pmod{3}$
$2 \cdot 2^n - 2 \cdot 2^n \equiv 0 \pmod{3}$
Поскольку выражение сравнимо с 0 по модулю 3, оно кратно 3.
Ответ: Доказано.

8) Докажем, что выражение $2^{n+5} \cdot 3^{4n} + 5^{3n+1}$ кратно 37 при любом натуральном $n$.
Рассмотрим выражение по модулю 37. Преобразуем его:
$2^{n+5} \cdot 3^{4n} + 5^{3n+1} = 2^5 \cdot 2^n \cdot (3^4)^n + 5 \cdot (5^3)^n = 32 \cdot 2^n \cdot 81^n + 5 \cdot 125^n = 32 \cdot (2 \cdot 81)^n + 5 \cdot 125^n = 32 \cdot 162^n + 5 \cdot 125^n$.
Найдем остатки от деления на 37 для чисел 32, 162 и 125:
$32 \equiv -5 \pmod{37}$
$162 = 4 \cdot 37 + 14 \implies 162 \equiv 14 \pmod{37}$
$125 = 3 \cdot 37 + 14 \implies 125 \equiv 14 \pmod{37}$
Подставим эти сравнения в преобразованное выражение:
$32 \cdot 162^n + 5 \cdot 125^n \equiv (-5) \cdot 14^n + 5 \cdot 14^n \pmod{37}$
$(-5+5) \cdot 14^n \equiv 0 \cdot 14^n \equiv 0 \pmod{37}$
Поскольку выражение сравнимо с 0 по модулю 37, оно кратно 37.
Ответ: Доказано.