Номер 27.24, страница 227 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 27. Деление с остатком. Сравнения по модулю и их свойства - номер 27.24, страница 227.

Условие.

27.24. Числа $a$ и $b$ таковы, что $a^2 + b^2 \equiv 0 \pmod 3$. Докажите, что $a \equiv 0 \pmod 3$ и $b \equiv 0 \pmod 3$.

Решение.

Рассмотрим, какие остатки при делении на 3 могут давать целые числа и их квадраты.

Любое целое число $x$ при делении на 3 может давать один из трех остатков: 0, 1 или 2. То есть, $x$ может быть сравнимо с 0, 1 или 2 по модулю 3.

Найдем, какие остатки при делении на 3 могут давать квадраты целых чисел $x^2$:

• Если $x \equiv 0 \pmod{3}$, то $x^2 \equiv 0^2 \equiv 0 \pmod{3}$.
• Если $x \equiv 1 \pmod{3}$, то $x^2 \equiv 1^2 \equiv 1 \pmod{3}$.
• Если $x \equiv 2 \pmod{3}$, то $x^2 \equiv 2^2 \equiv 4 \equiv 1 \pmod{3}$.

Таким образом, квадрат любого целого числа при делении на 3 может давать в остатке только 0 или 1.

По условию задачи нам дано, что $a^2 + b^2 \equiv 0 \pmod{3}$. Рассмотрим все возможные комбинации остатков для $a^2$ и $b^2$:

1. Если $a^2 \equiv 0 \pmod{3}$ и $b^2 \equiv 0 \pmod{3}$, то их сумма $a^2 + b^2 \equiv 0 + 0 \equiv 0 \pmod{3}$. Этот случай удовлетворяет условию.
2. Если $a^2 \equiv 0 \pmod{3}$ и $b^2 \equiv 1 \pmod{3}$ (или наоборот), то их сумма $a^2 + b^2 \equiv 0 + 1 \equiv 1 \pmod{3}$. Этот случай не удовлетворяет условию.
3. Если $a^2 \equiv 1 \pmod{3}$ и $b^2 \equiv 1 \pmod{3}$, то их сумма $a^2 + b^2 \equiv 1 + 1 \equiv 2 \pmod{3}$. Этот случай также не удовлетворяет условию.

Единственный случай, когда сумма квадратов сравнима с нулем по модулю 3, — это когда каждый из квадратов сравним с нулем по модулю 3. То есть, $a^2 \equiv 0 \pmod{3}$ и $b^2 \equiv 0 \pmod{3}$.

Если квадрат числа делится на простое число 3, то и само число должно делиться на 3. Следовательно, из $a^2 \equiv 0 \pmod{3}$ следует, что $a \equiv 0 \pmod{3}$, а из $b^2 \equiv 0 \pmod{3}$ следует, что $b \equiv 0 \pmod{3}$.

Таким образом, мы доказали, что если $a^2 + b^2 \equiv 0 \pmod{3}$, то $a \equiv 0 \pmod{3}$ и $b \equiv 0 \pmod{3}$.

Ответ: Утверждение доказано.