Номер 27.21, страница 227 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 27. Деление с остатком. Сравнения по модулю и их свойства - номер 27.21, страница 227.

Условие.

27.21. Докажите, что квадрат нечётного числа при делении на 8 даёт в остатке 1.

Решение.

Пусть дано произвольное нечётное число. Любое нечётное число можно представить в виде $n = 2k + 1$, где $k$ – некоторое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Возведём это число в квадрат:

$n^2 = (2k + 1)^2 = (2k)^2 + 2 \cdot 2k \cdot 1 + 1^2 = 4k^2 + 4k + 1$.

В выражении $4k^2 + 4k$ вынесем общий множитель $4k$ за скобки:

$n^2 = 4k(k + 1) + 1$.

Рассмотрим произведение $k(k + 1)$. Это произведение двух последовательных целых чисел. Поскольку одно из двух последовательных чисел всегда чётное, их произведение также всегда является чётным.

Действительно:

1. Если $k$ – чётное число, то и произведение $k(k+1)$ является чётным.

2. Если $k$ – нечётное число, то $k+1$ будет чётным, и, следовательно, произведение $k(k+1)$ также будет чётным.

Раз произведение $k(k + 1)$ всегда чётно, его можно представить в виде $k(k + 1) = 2m$, где $m$ – некоторое целое число.

Подставим это в выражение для $n^2$:

$n^2 = 4 \cdot (2m) + 1 = 8m + 1$.

Полученное выражение $8m + 1$ по определению деления с остатком означает, что при делении числа $n^2$ на 8 получается частное $m$ и остаток 1.

Таким образом, мы доказали, что квадрат любого нечётного числа при делении на 8 даёт в остатке 1.

Ответ: Утверждение доказано. Квадрат нечётного числа $(2k+1)^2$ равен $4k(k+1)+1$. Так как произведение последовательных чисел $k(k+1)$ всегда чётно, то $4k(k+1)$ делится на 8. Следовательно, $(2k+1)^2$ при делении на 8 даёт в остатке 1.