Номер 27.15, страница 226 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 27. Деление с остатком. Сравнения по модулю и их свойства - номер 27.15, страница 226.

Условие.

27.15. Вместо звёздочки запишите такое наименьшее неотрицательное целое число, чтобы полученное сравнение было верным:

1) $56 \equiv * (\text{mod } 8)$;

2) $23 \equiv * (\text{mod } 7)$;

3) $-43 \equiv * (\text{mod } 5)$;

4) $* \equiv 3 (\text{mod } 15)$;

5) $* \equiv -2 (\text{mod } 18)$;

6) $* \equiv 6 (\text{mod } 2)$.

Решение.

1) Сравнение $56 \equiv * \pmod{8}$ означает, что вместо звёздочки нужно подставить остаток от деления числа 56 на 8. Требуется найти наименьшее неотрицательное целое число, удовлетворяющее этому условию.

Для нахождения остатка разделим 56 на 8 с остатком. Согласно определению, $a = bq + r$, где $a$ – делимое, $b$ – делитель, $q$ – неполное частное, а $r$ – остаток, причём $0 \le r < |b|$.

В нашем случае $a=56$, $b=8$.

$56 = 8 \cdot 7 + 0$

Остаток от деления равен 0. Это наименьшее неотрицательное целое число, удовлетворяющее сравнению.

Ответ: 0

2) Необходимо найти наименьшее неотрицательное целое число для сравнения $23 \equiv * \pmod{7}$. Это число равно остатку от деления 23 на 7.

Выполним деление с остатком:

$23 = 7 \cdot 3 + 2$

Остаток равен 2. Это и есть искомое наименьшее неотрицательное число.

Ответ: 2

3) В сравнении $-43 \equiv * \pmod{5}$ нужно найти наименьшее неотрицательное целое число (обозначим его $r$), которое сравнимо с -43 по модулю 5. По определению, остаток $r$ должен удовлетворять условию $0 \le r < 5$.

Представим число -43 в виде $-43 = 5q + r$.

Чтобы найти $r$, мы можем прибавлять к -43 число 5 до тех пор, пока не получим неотрицательное число в нужном диапазоне.

$-43 \equiv -43 + 5 \pmod{5} \equiv -38 \pmod{5}$

Продолжая прибавлять 5, мы фактически ищем такое целое $k$, чтобы $-43 + 5k \ge 0$.

$5k \ge 43 \implies k \ge 8.6$. Наименьшее целое $k$ равно 9.

Тогда искомое число равно $-43 + 5 \cdot 9 = -43 + 45 = 2$.

Действительно, $2$ удовлетворяет условию $0 \le 2 < 5$.

Другой способ: $-43 = 5 \cdot (-9) + 2$. Остаток равен 2.

Ответ: 2

4) В сравнении $* \equiv 3 \pmod{15}$ мы ищем наименьшее неотрицательное целое число, которое при делении на 15 даёт в остатке 3.

Множество всех чисел, сравнимых с 3 по модулю 15, можно записать в виде $15k + 3$, где $k$ – любое целое число.

Нам нужно найти наименьшее неотрицательное число в этой последовательности. Переберём значения $k$:

• При $k = -1$: $15(-1) + 3 = -12$ (отрицательное)
• При $k = 0$: $15(0) + 3 = 3$ (неотрицательное)
• При $k = 1$: $15(1) + 3 = 18$ (больше, чем 3)

Наименьшим неотрицательным числом является 3.

Ответ: 3

5) В сравнении $* \equiv -2 \pmod{18}$ нужно найти наименьшее неотрицательное целое число, сравнимое с -2 по модулю 18.

Все числа, сравнимые с -2 по модулю 18, имеют вид $-2 + 18k$, где $k$ – целое число. Мы ищем наименьшее неотрицательное число в этой форме.

Прибавим к -2 модуль 18, чтобы получить эквивалентное неотрицательное число:

$-2 + 18 = 16$.

Число 16 удовлетворяет условию $0 \le 16 < 18$, поэтому это и есть наименьший неотрицательный остаток.

Ответ: 16

6) В сравнении $* \equiv 6 \pmod{2}$ ищем наименьшее неотрицательное целое число, сравнимое с 6 по модулю 2.

Сначала упростим правую часть сравнения. Найдём остаток от деления 6 на 2:

$6 = 2 \cdot 3 + 0$

Остаток равен 0. Таким образом, $6 \equiv 0 \pmod{2}$.

Исходное сравнение эквивалентно следующему: $* \equiv 0 \pmod{2}$.

Это означает, что искомое число должно делиться на 2 без остатка, то есть быть чётным. Нам нужно найти наименьшее неотрицательное чётное число. Таким числом является 0.

Ответ: 0