Номер 27.15, страница 226 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Алгебра, 8 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Поляков Виталий Михайлович, издательство Просвещение, Москва, 2014, розового цвета

Авторы: Мерзляк А. Г., Поляков В. М.

Тип: Учебник

Серия: алгоритм успеха

Издательство: Просвещение

Год издания: 2014 - 2025

Уровень обучения: углублённый

Цвет обложки: розовый

ISBN: 978-5-09-087881-4

Популярные ГДЗ в 8 классе

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 27. Деление с остатком. Сравнения по модулю и их свойства - номер 27.15, страница 226.

№27.15 (с. 226)
Условие. №27.15 (с. 226)
скриншот условия
Алгебра, 8 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Поляков Виталий Михайлович, издательство Просвещение, Москва, 2014, розового цвета, страница 226, номер 27.15, Условие

27.15. Вместо звёздочки запишите такое наименьшее неотрицательное целое число, чтобы полученное сравнение было верным:

1) $56 \equiv * (\text{mod } 8)$;

2) $23 \equiv * (\text{mod } 7)$;

3) $-43 \equiv * (\text{mod } 5)$;

4) $* \equiv 3 (\text{mod } 15)$;

5) $* \equiv -2 (\text{mod } 18)$;

6) $* \equiv 6 (\text{mod } 2)$.

Решение. №27.15 (с. 226)

1) Сравнение $56 \equiv * \pmod{8}$ означает, что вместо звёздочки нужно подставить остаток от деления числа 56 на 8. Требуется найти наименьшее неотрицательное целое число, удовлетворяющее этому условию.

Для нахождения остатка разделим 56 на 8 с остатком. Согласно определению, $a = bq + r$, где $a$ – делимое, $b$ – делитель, $q$ – неполное частное, а $r$ – остаток, причём $0 \le r < |b|$.

В нашем случае $a=56$, $b=8$.

$56 = 8 \cdot 7 + 0$

Остаток от деления равен 0. Это наименьшее неотрицательное целое число, удовлетворяющее сравнению.

Ответ: 0

2) Необходимо найти наименьшее неотрицательное целое число для сравнения $23 \equiv * \pmod{7}$. Это число равно остатку от деления 23 на 7.

Выполним деление с остатком:

$23 = 7 \cdot 3 + 2$

Остаток равен 2. Это и есть искомое наименьшее неотрицательное число.

Ответ: 2

3) В сравнении $-43 \equiv * \pmod{5}$ нужно найти наименьшее неотрицательное целое число (обозначим его $r$), которое сравнимо с -43 по модулю 5. По определению, остаток $r$ должен удовлетворять условию $0 \le r < 5$.

Представим число -43 в виде $-43 = 5q + r$.

Чтобы найти $r$, мы можем прибавлять к -43 число 5 до тех пор, пока не получим неотрицательное число в нужном диапазоне.

$-43 \equiv -43 + 5 \pmod{5} \equiv -38 \pmod{5}$

Продолжая прибавлять 5, мы фактически ищем такое целое $k$, чтобы $-43 + 5k \ge 0$.

$5k \ge 43 \implies k \ge 8.6$. Наименьшее целое $k$ равно 9.

Тогда искомое число равно $-43 + 5 \cdot 9 = -43 + 45 = 2$.

Действительно, $2$ удовлетворяет условию $0 \le 2 < 5$.

Другой способ: $-43 = 5 \cdot (-9) + 2$. Остаток равен 2.

Ответ: 2

4) В сравнении $* \equiv 3 \pmod{15}$ мы ищем наименьшее неотрицательное целое число, которое при делении на 15 даёт в остатке 3.

Множество всех чисел, сравнимых с 3 по модулю 15, можно записать в виде $15k + 3$, где $k$ – любое целое число.

Нам нужно найти наименьшее неотрицательное число в этой последовательности. Переберём значения $k$:

  • При $k = -1$: $15(-1) + 3 = -12$ (отрицательное)
  • При $k = 0$: $15(0) + 3 = 3$ (неотрицательное)
  • При $k = 1$: $15(1) + 3 = 18$ (больше, чем 3)

Наименьшим неотрицательным числом является 3.

Ответ: 3

5) В сравнении $* \equiv -2 \pmod{18}$ нужно найти наименьшее неотрицательное целое число, сравнимое с -2 по модулю 18.

Все числа, сравнимые с -2 по модулю 18, имеют вид $-2 + 18k$, где $k$ – целое число. Мы ищем наименьшее неотрицательное число в этой форме.

Прибавим к -2 модуль 18, чтобы получить эквивалентное неотрицательное число:

$-2 + 18 = 16$.

Число 16 удовлетворяет условию $0 \le 16 < 18$, поэтому это и есть наименьший неотрицательный остаток.

Ответ: 16

6) В сравнении $* \equiv 6 \pmod{2}$ ищем наименьшее неотрицательное целое число, сравнимое с 6 по модулю 2.

Сначала упростим правую часть сравнения. Найдём остаток от деления 6 на 2:

$6 = 2 \cdot 3 + 0$

Остаток равен 0. Таким образом, $6 \equiv 0 \pmod{2}$.

Исходное сравнение эквивалентно следующему: $* \equiv 0 \pmod{2}$.

Это означает, что искомое число должно делиться на 2 без остатка, то есть быть чётным. Нам нужно найти наименьшее неотрицательное чётное число. Таким числом является 0.

Ответ: 0

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 27.15 расположенного на странице 226 к учебнику серии алгоритм успеха 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №27.15 (с. 226), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.