Номер 27.14, страница 226 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 27. Деление с остатком. Сравнения по модулю и их свойства - номер 27.14, страница 226.

Условие.

27.14. Число $m$ даёт равные остатки при делении на 3 и на 4. Чему может быть равным остаток при делении числа $m$ на 12?

Решение.

Пусть $r$ — это равный остаток от деления числа $m$ на 3 и на 4.

По определению деления с остатком, мы можем записать два равенства:
$m = 3k + r$, где $k$ — некоторое целое число.
$m = 4q + r$, где $q$ — некоторое целое число.

Остаток от деления всегда меньше делителя. Следовательно, для остатка $r$ должны выполняться два условия:
1. При делении на 3 остаток $r$ должен удовлетворять неравенству $0 \le r < 3$. Таким образом, $r$ может быть равен 0, 1 или 2.
2. При делении на 4 остаток $r$ должен удовлетворять неравенству $0 \le r < 4$. Таким образом, $r$ может быть равен 0, 1, 2 или 3.

Поскольку по условию задачи остатки равны, $r$ должен удовлетворять обоим условиям одновременно. Следовательно, возможными значениями для $r$ являются 0, 1 или 2.

Из равенств $m = 3k + r$ и $m = 4q + r$ следует, что $m - r = 3k$ и $m - r = 4q$. Это означает, что число $(m-r)$ делится нацело и на 3, и на 4.

Так как числа 3 и 4 являются взаимно простыми (их наибольший общий делитель равен 1), то число $(m-r)$ должно делиться на их произведение, то есть на $3 \times 4 = 12$.
Таким образом, можно записать, что $m - r = 12n$ для некоторого целого числа $n$.

Выразим $m$ из этого равенства: $m = 12n + r$.

Это равенство по определению означает, что при делении числа $m$ на 12 получается остаток $r$. Так как мы уже установили, что $r$ может принимать значения 0, 1 или 2, то и остаток от деления числа $m$ на 12 может быть равен 0, 1 или 2.

Ответ: 0, 1 или 2.