Номер 27.7, страница 226 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 27. Деление с остатком. Сравнения по модулю и их свойства - номер 27.7, страница 226.

Условие.

27.7. Какой остаток при делении на 6 даёт число вида $6n - 1$, где $n \in Z$?

Решение.

27.7.

Чтобы найти остаток от деления числа вида $6n - 1$ на 6, где $n \in Z$, представим это число в форме $6q + r$, где $q$ — частное (целое число), а $r$ — остаток, удовлетворяющий условию $0 \le r < 6$.

Рассмотрим выражение $6n - 1$. Слагаемое $6n$ делится на 6 нацело, так как является произведением 6 и целого числа $n$. Выражение $6n - 1$ можно преобразовать следующим образом, чтобы выделить часть, кратную 6, и остаток: $6n - 1 = 6n - 6 + 5$ Сгруппируем первые два слагаемых: $(6n - 6) + 5$ Вынесем общий множитель 6 за скобки: $6(n - 1) + 5$

Обозначим $q = n - 1$. Поскольку $n$ является целым числом, то и $q$ является целым числом. Таким образом, мы представили исходное число в виде $6q + 5$. Это и есть форма деления с остатком, где делитель равен 6, частное равно $q$, а остаток равен 5. Остаток $r = 5$ удовлетворяет условию $0 \le 5 < 6$.

Следовательно, при делении числа вида $6n - 1$ на 6 остаток всегда будет равен 5.

Ответ: 5