Вопросы?, страница 225 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 27. Деление с остатком. Сравнения по модулю и их свойства - страница 225.

Условие.

1. Сформулируйте теорему о делении с остатком.

2. Какое свойство имеет разность целых чисел $a$ и $b$, дающих одинаковые остатки при делении на натуральное число $m$?

3. Какое свойство имеют остатки при делении целых чисел $a$ и $b$ на натуральное число $m$, если $(a - b) : m$?

4. Какие числа называют сравнимыми по модулю $m$, где $m \in N$?

5. Сформулируйте необходимое и достаточное условия того, что целые числа $a$ и $b$ сравнимы по модулю $m$, где $m \in N$.

6. Сформулируйте свойства сравнений.

Решение.

1. Сформулируйте теорему о делении с остатком.

Теорема о делении с остатком утверждает, что для любого целого числа $a$ (делимое) и любого натурального числа $m$ (делитель) существует единственная пара целых чисел $q$ (неполное частное) и $r$ (остаток), таких, что выполняется равенство $a = mq + r$, при этом остаток $r$ должен удовлетворять неравенству $0 \le r < m$.

Ответ:

2. Какое свойство имеет разность целых чисел a и b, дающих одинаковые остатки при делении на натуральное число m?

Если целые числа $a$ и $b$ дают одинаковые остатки при делении на натуральное число $m$, то их разность $(a-b)$ делится на $m$ нацело.

Доказательство:

Пусть при делении чисел $a$ и $b$ на $m$ получается один и тот же остаток $r$. Согласно теореме о делении с остатком, это можно записать в виде:

$a = mq_1 + r$, где $q_1$ — неполное частное.

$b = mq_2 + r$, где $q_2$ — неполное частное.

Найдем разность этих чисел:

$a - b = (mq_1 + r) - (mq_2 + r) = mq_1 + r - mq_2 - r = m(q_1 - q_2)$.

Так как $q_1$ и $q_2$ — целые числа, их разность $(q_1 - q_2)$ также является целым числом. Обозначим $k = q_1 - q_2$. Тогда $a - b = mk$. Это по определению означает, что разность $(a-b)$ делится на $m$ без остатка.

Ответ:

3. Какое свойство имеют остатки при делении целых чисел a и b на натуральное число m, если (a – b) ⋮ m?

Если разность целых чисел $(a - b)$ делится на натуральное число $m$ нацело, то остатки от деления чисел $a$ и $b$ на $m$ равны.

Доказательство:

Пусть при делении числа $a$ на $m$ получается остаток $r_1$, а при делении числа $b$ на $m$ — остаток $r_2$. Это можно записать как:

$a = mq_1 + r_1$, где $0 \le r_1 < m$.

$b = mq_2 + r_2$, где $0 \le r_2 < m$.

По условию, разность $(a - b)$ делится на $m$, то есть существует такое целое число $k$, что $a - b = mk$.

Выразим разность $(a - b)$ через частные и остатки:

$a - b = (mq_1 + r_1) - (mq_2 + r_2) = m(q_1 - q_2) + (r_1 - r_2)$.

Так как $a - b = mk$, получаем:

$mk = m(q_1 - q_2) + (r_1 - r_2)$.

$r_1 - r_2 = mk - m(q_1 - q_2) = m(k - q_1 + q_2)$.

Это равенство показывает, что разность остатков $(r_1 - r_2)$ делится на $m$. Однако из условий $0 \le r_1 < m$ и $0 \le r_2 < m$ следует, что $-m < r_1 - r_2 < m$. Единственное целое число в интервале $(-m, m)$, которое делится на $m$, — это 0. Следовательно, $r_1 - r_2 = 0$, откуда $r_1 = r_2$.

Ответ:

4. Какие числа называют сравнимыми по модулю m, где m ∈ N?

Два целых числа $a$ и $b$ называют сравнимыми по модулю натурального числа $m$, если они дают одинаковые остатки при делении на $m$. Записывается это как $a \equiv b \pmod{m}$ или $a \equiv b \text{ (mod } m\text{)}$.

Ответ:

5. Сформулируйте необходимое и достаточное условия того, что целые числа a и b сравнимы по модулю m, где m ∈ N.

Целые числа $a$ и $b$ сравнимы по модулю натурального числа $m$ тогда и только тогда, когда их разность $(a - b)$ делится на $m$ нацело.

Формально: $a \equiv b \pmod{m} \iff (a - b) \vdots m$.

Это условие является необходимым (если числа сравнимы, то их разность делится на $m$, как показано в пункте 2) и достаточным (если разность чисел делится на $m$, то они сравнимы, как показано в пункте 3).

Ответ:

6. Сформулируйте свойства сравнений.

Пусть $a, b, c, d$ — целые числа, а $m$ — натуральное число. Сравнения по модулю $m$ обладают следующими свойствами:

1. Рефлексивность: любое число сравнимо само с собой по любому модулю. $a \equiv a \pmod{m}$.

2. Симметричность: если $a$ сравнимо с $b$, то и $b$ сравнимо с $a$. Если $a \equiv b \pmod{m}$, то $b \equiv a \pmod{m}$.

3. Транзитивность: если $a$ сравнимо с $b$, и $b$ сравнимо с $c$, то $a$ сравнимо с $c$. Если $a \equiv b \pmod{m}$ и $b \equiv c \pmod{m}$, то $a \equiv c \pmod{m}$.

Эти три свойства показывают, что отношение сравнимости является отношением эквивалентности.

4. Свойства арифметических операций:

- Сложение и вычитание: Сравнения можно почленно складывать и вычитать. Если $a \equiv b \pmod{m}$ и $c \equiv d \pmod{m}$, то $a \pm c \equiv b \pm d \pmod{m}$.

- Умножение: Сравнения можно почленно умножать. Если $a \equiv b \pmod{m}$ и $c \equiv d \pmod{m}$, то $ac \equiv bd \pmod{m}$.

- Следствие: Обе части сравнения можно умножить на одно и то же целое число. Если $a \equiv b \pmod{m}$, то $ak \equiv bk \pmod{m}$ для любого целого $k$.

- Возведение в степень: Обе части сравнения можно возводить в одну и ту же натуральную степень. Если $a \equiv b \pmod{m}$, то $a^n \equiv b^n \pmod{m}$ для любого натурального $n$.

- Деление: Обе части сравнения можно разделить на их общий делитель $c$, если $c$ взаимно прост с модулем $m$. То есть, если $ac \equiv bc \pmod{m}$ и НОД$(c, m) = 1$, то $a \equiv b \pmod{m}$.

Ответ: