Номер 26.33, страница 219 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 26. Делимость нацело и её свойства - номер 26.33, страница 219.

Условие.

26.33. Пятизначное число $A = \overline{abcde}$ кратно числу 41. Докажите, что число $B = \overline{bcdea}$ также кратно числу 41.

Решение.

Пусть пятизначное число $A = \overline{abcde}$ и число $B = \overline{bcdea}$. Мы можем представить эти числа в виде:
$A = 10000a + 1000b + 100c + 10d + e$
$B = 10000b + 1000c + 100d + 10e + a$

По условию, число $A$ кратно 41. Это означает, что $A \equiv 0 \pmod{41}$. Нам нужно доказать, что $B$ также кратно 41, то есть $B \equiv 0 \pmod{41}$.

Выразим число $B$ через $A$. Рассмотрим выражение для $10A$: $10A = 10(10000a + 1000b + 100c + 10d + e) = 100000a + 10000b + 1000c + 100d + 10e$.

Заметим, что часть этого выражения совпадает с выражением для $B$: $10000b + 1000c + 100d + 10e = B - a$.

Подставим это в выражение для $10A$: $10A = 100000a + (B - a) = 99999a + B$.

Отсюда выразим $B$: $B = 10A - 99999a$.

Теперь проанализируем это равенство с точки зрения делимости на 41. Поскольку $A$ кратно 41, то и $10A$ кратно 41. Если мы докажем, что число 99999 также кратно 41, то и произведение $99999a$ будет кратно 41. В этом случае $B$ будет разностью двух чисел, кратных 41, а значит, и само будет кратно 41.

Проверим, делится ли 99999 на 41. $99999 = 10^5 - 1$. Найдем остаток от деления $10^5$ на 41:
$10^2 = 100 = 2 \cdot 41 + 18 \implies 10^2 \equiv 18 \pmod{41}$
$10^4 = (10^2)^2 \equiv 18^2 = 324 \pmod{41}$. $324 = 7 \cdot 41 + 37 \implies 324 \equiv 37 \equiv -4 \pmod{41}$.
$10^5 = 10 \cdot 10^4 \equiv 10 \cdot (-4) = -40 \pmod{41}$. $-40 = -1 \cdot 41 + 1 \implies -40 \equiv 1 \pmod{41}$.
Итак, $10^5 \equiv 1 \pmod{41}$.

Следовательно, $99999 = 10^5 - 1 \equiv 1 - 1 = 0 \pmod{41}$. Это доказывает, что 99999 делится на 41 нацело (кстати, $99999 = 41 \cdot 2439$).

Возвращаемся к выражению $B = 10A - 99999a$.
1. Слагаемое $10A$ делится на 41, так как $A$ делится на 41.
2. Слагаемое $99999a$ делится на 41, так как 99999 делится на 41.
Следовательно, их разность $B$ также делится на 41. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если пятизначное число $A = \overline{abcde}$ кратно 41, то число $B = \overline{bcdea}$ также кратно 41.