Номер 27.26, страница 227 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 27. Деление с остатком. Сравнения по модулю и их свойства - номер 27.26, страница 227.

Условие.

27.26. Известно, что $(a^2 + b^2) : 3$. Докажите, что $(a^2 + b^2) : 9$.

Решение.

Для доказательства утверждения проанализируем остатки от деления квадратов целых чисел на 3. Любое целое число $n$ при делении на 3 может давать остаток 0, 1 или 2. Рассмотрим квадрат этого числа $n^2$:

Если $n \equiv 0 \pmod{3}$, то $n^2 \equiv 0^2 \equiv 0 \pmod{3}$.

Если $n \equiv 1 \pmod{3}$, то $n^2 \equiv 1^2 \equiv 1 \pmod{3}$.

Если $n \equiv 2 \pmod{3}$, то $n^2 \equiv 2^2 = 4 \equiv 1 \pmod{3}$.

Таким образом, квадрат любого целого числа при делении на 3 может давать в остатке только 0 или 1.

По условию задачи, сумма $a^2 + b^2$ делится на 3, то есть $a^2 + b^2 \equiv 0 \pmod{3}$.

Пусть остаток от деления $a^2$ на 3 равен $r_a$, а остаток от деления $b^2$ на 3 равен $r_b$. Мы знаем, что $r_a, r_b \in \{0, 1\}$. Условие $a^2 + b^2 \equiv 0 \pmod{3}$ означает, что сумма остатков $r_a + r_b$ также должна делиться на 3. Единственная комбинация остатков, которая удовлетворяет этому условию, это $r_a = 0$ и $r_b = 0$, так как $0+0=0$, в то время как $0+1=1$ и $1+1=2$ на 3 не делятся.

Итак, мы установили, что и $a^2$, и $b^2$ должны делиться на 3.

Поскольку 3 является простым числом, из того, что $a^2$ делится на 3, следует, что и само число $a$ делится на 3. Аналогично, $b$ также должно делиться на 3.

Следовательно, существуют целые числа $k$ и $m$, такие что $a=3k$ и $b=3m$.

Подставим эти выражения в сумму $a^2 + b^2$:

$a^2 + b^2 = (3k)^2 + (3m)^2 = 9k^2 + 9m^2 = 9(k^2 + m^2)$.

Так как $k$ и $m$ — целые числа, то и $k^2 + m^2$ — целое число. Полученное выражение $9(k^2 + m^2)$ очевидно делится на 9. Таким образом, доказано, что если $(a^2+b^2)$ делится на 3, то оно также делится и на 9.

Ответ: утверждение доказано.