Номер 27.34, страница 227 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 27. Деление с остатком. Сравнения по модулю и их свойства - номер 27.34, страница 227.

Условие.

27.34. Сумма остатков при делении натурального числа $n$ на числа 3, 6 и 9 равна 15. Найдите эти остатки.

Решение.

Обозначим остатки от деления натурального числа $n$ на 3, 6 и 9 как $r_3, r_6$ и $r_9$ соответственно.

По определению остатка от деления, существуют следующие ограничения на значения этих остатков:
Остаток при делении на 3: $0 \le r_3 \le 2$.
Остаток при делении на 6: $0 \le r_6 \le 5$.
Остаток при делении на 9: $0 \le r_9 \le 8$.

Из условия задачи известно, что сумма этих остатков равна 15:
$r_3 + r_6 + r_9 = 15$

Найдем максимально возможную сумму остатков, сложив их наибольшие возможные значения:
$r_{3_{max}} + r_{6_{max}} + r_{9_{max}} = 2 + 5 + 8 = 15$.

Поскольку данная в условии сумма остатков (15) совпадает с максимально возможной суммой, это может быть достигнуто только в одном случае: когда каждый остаток равен своему максимальному значению.
Следовательно, искомые остатки однозначно определены:
$r_3 = 2$
$r_6 = 5$
$r_9 = 8$

Ответ: остаток при делении на 3 равен 2, остаток при делении на 6 равен 5, остаток при делении на 9 равен 8.