Номер 25.19, страница 211 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 25. Математическое моделирование - номер 25.19, страница 211.

Условие.

25.19. Вследствие двух последовательных снижений цены на одно и то же количество процентов цена кресла снизилась с 1600 р. до 1156 р.

На сколько процентов происходило каждый раз снижение цены?

Решение.

Пусть первоначальная цена кресла составляет $P_0 = 1600$ рублей, а цена после двух последовательных снижений — $P_2 = 1156$ рублей.

Обозначим искомый процент снижения как $x$. Каждое снижение цены на $x$ процентов эквивалентно умножению текущей цены на коэффициент $k = (1 - \frac{x}{100})$.

Поскольку было два последовательных снижения на один и тот же процент, итоговая цена $P_2$ связана с начальной ценой $P_0$ следующим соотношением:$P_2 = P_0 \cdot k \cdot k = P_0 \cdot k^2$.

Подставим известные значения в формулу:$1156 = 1600 \cdot (1 - \frac{x}{100})^2$.

Для того чтобы найти $x$, сначала найдем значение выражения в скобках. Разделим обе части уравнения на 1600:$(1 - \frac{x}{100})^2 = \frac{1156}{1600}$.

Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей. Так как цена снижается, коэффициент $(1 - \frac{x}{100})$ должен быть положительным числом меньше единицы.$1 - \frac{x}{100} = \sqrt{\frac{1156}{1600}} = \frac{\sqrt{1156}}{\sqrt{1600}}$.

Вычислим значения корней: $\sqrt{1156} = 34$ и $\sqrt{1600} = 40$. Следовательно, $1 - \frac{x}{100} = \frac{34}{40}$.

Упростим дробь и представим ее в виде десятичного числа:$\frac{34}{40} = \frac{17}{20} = 0.85$.

Теперь у нас есть простое уравнение:$1 - \frac{x}{100} = 0.85$.

Выразим $\frac{x}{100}$:$\frac{x}{100} = 1 - 0.85$.$\frac{x}{100} = 0.15$.

Отсюда находим $x$:$x = 0.15 \cdot 100 = 15$.

Таким образом, цена каждый раз снижалась на 15%.

Ответ: 15%.