Номер 25.10, страница 210 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 25. Математическое моделирование - номер 25.10, страница 210.

Условие.

25.10. Лодка проплыла 15 км по течению реки и вернулась назад, затратив на обратный путь на 1 ч больше. Найдите скорость лодки по течению реки, если скорость течения составляет 2 км/ч.

Решение.

Найдите скорость лодки по течению реки

Пусть $v_с$ — собственная скорость лодки (скорость в стоячей воде) в км/ч. Скорость течения реки по условию составляет $v_т = 2$ км/ч. Расстояние, которое лодка проплыла в одном направлении, равно $S = 15$ км.

Скорость лодки по течению реки равна сумме собственной скорости и скорости течения: $v_{по} = v_с + v_т = v_с + 2$ км/ч.

Скорость лодки против течения реки равна разности собственной скорости и скорости течения: $v_{против} = v_с - v_т = v_с - 2$ км/ч. (Для того чтобы лодка могла двигаться против течения, её собственная скорость должна быть больше скорости течения, то есть $v_с > 2$).

Время, затраченное на путь по течению, равно $t_{по} = \frac{S}{v_{по}} = \frac{15}{v_с + 2}$ ч. Время, затраченное на обратный путь (против течения), равно $t_{против} = \frac{S}{v_{против}} = \frac{15}{v_с - 2}$ ч.

По условию задачи, на обратный путь было затрачено на 1 час больше, чем на путь по течению. Это означает, что разница во времени составляет 1 час: $t_{против} - t_{по} = 1$

Составим и решим уравнение: $\frac{15}{v_с - 2} - \frac{15}{v_с + 2} = 1$

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $(v_с - 2)(v_с + 2)$: $\frac{15(v_с + 2) - 15(v_с - 2)}{(v_с - 2)(v_с + 2)} = 1$

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение: $\frac{15v_с + 30 - 15v_с + 30}{v_с^2 - 4} = 1$ $\frac{60}{v_с^2 - 4} = 1$

Из этого следует: $v_с^2 - 4 = 60$ $v_с^2 = 64$ $v_с = \sqrt{64} = 8$ (так как скорость не может быть отрицательной).

Собственная скорость лодки равна 8 км/ч. Это значение удовлетворяет условию $v_с > 2$.

Теперь найдем скорость лодки по течению реки, что и является вопросом задачи: $v_{по} = v_с + v_т = 8 + 2 = 10$ км/ч.

Ответ: 10 км/ч.