Номер 25.9, страница 210 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 25. Математическое моделирование - номер 25.9, страница 210.

Условие.

25.9. Катер прошёл 16 км по течению реки и 30 км против течения, затратив на весь путь 1 ч 30 мин. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки составляет 1 км/ч.

Решение.

Пусть собственная скорость катера равна $x$ км/ч.
По условию, скорость течения реки составляет 1 км/ч.
Тогда скорость катера по течению реки равна $(x + 1)$ км/ч, а скорость катера против течения — $(x - 1)$ км/ч. Поскольку катер движется против течения, его собственная скорость должна быть больше скорости течения, то есть $x > 1$.

Время, затраченное на 16 км по течению, составляет $t_1 = \frac{16}{x+1}$ ч.
Время, затраченное на 30 км против течения, составляет $t_2 = \frac{30}{x-1}$ ч.

Общее время в пути — 1 ч 30 мин, что равно $1 + \frac{30}{60} = 1.5$ часа.
Составим уравнение, исходя из того, что общее время равно сумме времени движения по течению и против течения:
$\frac{16}{x+1} + \frac{30}{x-1} = 1.5$

Решим это уравнение. Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(x+1)(x-1)$:
$\frac{16(x-1) + 30(x+1)}{(x+1)(x-1)} = 1.5$
$\frac{16x - 16 + 30x + 30}{x^2 - 1} = 1.5$
$\frac{46x + 14}{x^2 - 1} = 1.5$
$46x + 14 = 1.5(x^2 - 1)$
$46x + 14 = 1.5x^2 - 1.5$
$1.5x^2 - 46x - 15.5 = 0$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы работать с целыми коэффициентами:
$3x^2 - 92x - 31 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-92)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-31) = 8464 + 372 = 8836$
$\sqrt{D} = \sqrt{8836} = 94$
$x_1 = \frac{-(-92) + 94}{2 \cdot 3} = \frac{92 + 94}{6} = \frac{186}{6} = 31$
$x_2 = \frac{-(-92) - 94}{2 \cdot 3} = \frac{92 - 94}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

Корень $x_2 = -\frac{1}{3}$ не подходит по смыслу задачи, так как скорость не может быть отрицательной. Корень $x_1 = 31$ удовлетворяет условию $x > 1$.
Следовательно, собственная скорость катера составляет 31 км/ч.
Ответ: 31 км/ч.