Номер 24.29, страница 203 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 24. Решение уравнений методом замены переменной - номер 24.29, страница 203.

Условие.

24.29. Решите уравнение $|x - 4| + |x + 1| = 5.$

Решение.

Для решения уравнения с модулями $|x - 4| + |x + 1| = 5$ воспользуемся методом интервалов. Сначала найдем точки, в которых выражения под знаком модуля обращаются в ноль.

$x - 4 = 0 \implies x = 4$

$x + 1 = 0 \implies x = -1$

Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -1)$, $[-1; 4)$ и $[4; +\infty)$. Раскроем модули на каждом из этих интервалов.

1. Рассматриваем интервал $x < -1$

На этом интервале оба подмодульных выражения отрицательны: $x - 4 < 0$ и $x + 1 < 0$. Следовательно, $|x - 4| = -(x - 4) = -x + 4$ и $|x + 1| = -(x + 1) = -x - 1$. Уравнение принимает вид:

$(-x + 4) + (-x - 1) = 5$

$-2x + 3 = 5$

$-2x = 2$

$x = -1$

Полученное значение $x = -1$ не принадлежит рассматриваемому интервалу $x < -1$, следовательно, на этом интервале решений нет.

2. Рассматриваем интервал $-1 \le x < 4$

На этом интервале выражение $x - 4$ отрицательно ($x - 4 < 0$), а выражение $x + 1$ неотрицательно ($x + 1 \ge 0$). Следовательно, $|x - 4| = -(x - 4) = -x + 4$ и $|x + 1| = x + 1$. Уравнение принимает вид:

$(-x + 4) + (x + 1) = 5$

$5 = 5$

Получили верное числовое равенство, которое не зависит от $x$. Это означает, что все значения $x$ из данного интервала $[-1; 4)$ являются решениями уравнения.

3. Рассматриваем интервал $x \ge 4$

На этом интервале оба подмодульных выражения неотрицательны: $x - 4 \ge 0$ и $x + 1 > 0$. Следовательно, $|x - 4| = x - 4$ и $|x + 1| = x + 1$. Уравнение принимает вид:

$(x - 4) + (x + 1) = 5$

$2x - 3 = 5$

$2x = 8$

$x = 4$

Полученное значение $x = 4$ принадлежит рассматриваемому интервалу $x \ge 4$, следовательно, является решением.

Объединение решений

Объединим решения, полученные на всех интервалах. Из второго случая мы получили промежуток $[-1; 4)$, а из третьего — число $4$. Объединяя их, получаем итоговое решение: отрезок $[-1; 4]$.

Ответ: $x \in [-1; 4]$.