Номер 28.5, страница 233 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 28. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух натуральных чисел. Взаимно простые числа - номер 28.5, страница 233.

Условие.

28.5. Чему может быть равным $НОД (a; b)$, если:

1) $a = n, b = n + 2$;

2) $a = n, b = 4n + 3$?

Решение.

1) Пусть $d = НОД(a; b) = НОД(n; n + 2)$. Воспользуемся свойством наибольшего общего делителя (НОД), согласно которому $НОД(x; y) = НОД(x; y - kx)$ для любого целого числа $k$. Применим это свойство для наших чисел: $d = НОД(n; n + 2) = НОД(n; (n + 2) - 1 \cdot n) = НОД(n; 2)$. Это означает, что искомый НОД равен НОД числа $n$ и числа $2$. Любой общий делитель чисел $n$ и $2$ должен быть делителем числа $2$. Делителями числа $2$ являются $1$ и $2$. Следовательно, НОД может быть равен $1$ или $2$. Проверим, возможны ли оба этих значения:

• Если $n$ — нечетное число (например, при $n=1$, имеем $a=1, b=3$), то $НОД(1; 3) = 1$.
• Если $n$ — четное число (например, при $n=2$, имеем $a=2, b=4$), то $НОД(2; 4) = 2$.

Оба значения возможны. Ответ: 1 или 2.

2) Пусть $d = НОД(a; b) = НОД(n; 4n + 3)$. Используем то же свойство НОД: $НОД(x; y) = НОД(x; y - kx)$. Положим $k=4$: $d = НОД(n; 4n + 3) = НОД(n; (4n + 3) - 4 \cdot n) = НОД(n; 3)$. Таким образом, искомый НОД равен НОД числа $n$ и числа $3$. Он должен быть делителем числа $3$. Делителями числа $3$ являются $1$ и $3$. Следовательно, НОД может быть равен $1$ или $3$. Проверим, возможны ли оба этих значения:

• Если $n$ не делится на $3$ (например, при $n=1$, имеем $a=1, b=4 \cdot 1 + 3 = 7$), то $НОД(1; 7) = 1$.
• Если $n$ делится на $3$ (например, при $n=3$, имеем $a=3, b=4 \cdot 3 + 3 = 15$), то $НОД(3; 15) = 3$.

Оба значения возможны. Ответ: 1 или 3.