Номер 28.11, страница 234 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 28. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух натуральных чисел. Взаимно простые числа - номер 28.11, страница 234.

Условие.

28.11. Докажите, что при любом $n \in \mathbb{Z}$ значение выражения:

1) $n^2 + n$ кратно 2;

2) $n^3 + 3n^2 + 2n$ кратно 6;

3) $n^4 - n^2$ кратно 12.

Решение.

1) Разложим выражение $n^2 + n$ на множители: $n^2 + n = n(n + 1)$.
Полученное выражение представляет собой произведение двух последовательных целых чисел: $n$ и $n + 1$.
Для любого целого числа $n \in \mathbb{Z}$, одно из двух последовательных чисел ($n$ или $n+1$) обязательно является четным.
Произведение любого целого числа на четное число является четным, то есть делится на 2.
Следовательно, значение выражения $n^2 + n$ всегда кратно 2.
Ответ: Утверждение доказано.

2) Рассмотрим выражение $n^3 + 3n^2 + 2n$. Разложим его на множители.
Сначала вынесем $n$ за скобки: $n(n^2 + 3n + 2)$.
Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $n^2 + 3n + 2$. Его корни $n_1 = -1$ и $n_2 = -2$, поэтому $n^2 + 3n + 2 = (n+1)(n+2)$.
Таким образом, исходное выражение равно $n(n+1)(n+2)$.
Это произведение трех последовательных целых чисел.
Чтобы доказать, что это выражение кратно 6, нужно доказать, что оно кратно 2 и 3, так как $6 = 2 \times 3$ и числа 2 и 3 взаимно простые.
1. Делимость на 2: Среди трех последовательных целых чисел есть как минимум одно четное число. Следовательно, их произведение всегда делится на 2.
2. Делимость на 3: Среди любых трех последовательных целых чисел ровно одно делится на 3. Следовательно, их произведение всегда делится на 3.
Так как выражение делится и на 2, и на 3, оно делится на их произведение, то есть на 6.
Ответ: Утверждение доказано.

3) Рассмотрим выражение $n^4 - n^2$. Разложим его на множители.
$n^4 - n^2 = n^2(n^2 - 1) = n^2(n-1)(n+1)$.
Перегруппируем множители для наглядности: $(n-1)n(n+1)n$.
Чтобы доказать, что это выражение кратно 12, нужно доказать, что оно кратно 3 и 4, так как $12 = 3 \times 4$ и числа 3 и 4 взаимно простые.
1. Делимость на 3: Выражение содержит произведение трех последовательных целых чисел $(n-1), n, (n+1)$. Как было показано в предыдущем пункте, произведение трех последовательных целых чисел всегда делится на 3. Следовательно, все выражение $(n-1)n(n+1)n$ делится на 3.
2. Делимость на 4: Рассмотрим два случая для $n$.
а) Если $n$ — четное число, то $n=2k$ для некоторого целого $k$. Тогда $n^2 = (2k)^2 = 4k^2$. Так как $n^2$ делится на 4, то и все выражение $n^2(n-1)(n+1)$ делится на 4.
б) Если $n$ — нечетное число, то $n-1$ и $n+1$ — два последовательных четных числа. Пусть $n=2k+1$. Тогда $n-1=2k$ и $n+1=2k+2=2(k+1)$. Их произведение $(n-1)(n+1) = 2k \cdot 2(k+1) = 4k(k+1)$. Это произведение делится на 4. Следовательно, и все выражение $n^2(n-1)(n+1)$ делится на 4.
Таким образом, в любом случае выражение делится на 4.
Поскольку выражение $n^4 - n^2$ делится и на 3, и на 4, оно делится на их произведение, то есть на 12.
Ответ: Утверждение доказано.