Номер 28.7, страница 233 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 28. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух натуральных чисел. Взаимно простые числа - номер 28.7, страница 233.

Условие.

28.7. Целое число $n$ кратно 3 и кратно 4. Верно ли, что $n$ кратно 12?

Решение.

Да, это утверждение верно. Предоставим подробное доказательство.

1. Условие кратности 3

Если целое число $n$ кратно 3, это означает, что его можно представить как произведение числа 3 и некоторого целого числа $k$. Математически это записывается так:

$n = 3k$, где $k$ — целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

2. Условие кратности 4

Аналогично, если число $n$ кратно 4, то оно должно делиться на 4 без остатка. Используя выражение из первого пункта, мы можем сказать, что $3k$ должно быть кратно 4.

3. Свойство взаимно простых чисел

Рассмотрим числа 3 и 4. Эти числа являются взаимно простыми, так как у них нет общих делителей, кроме 1. Их наибольший общий делитель (НОД) равен 1:

$НОД(3, 4) = 1$.

Существует важное свойство делимости: если произведение двух чисел ($a \cdot b$) делится на число $c$, и при этом $a$ и $c$ взаимно просты, то $b$ должно делиться на $c$.

Применим это свойство к нашему случаю: произведение $3k$ делится на 4, и при этом числа 3 и 4 взаимно просты. Следовательно, множитель $k$ должен быть кратен 4.

4. Вывод

Если $k$ кратно 4, то его можно представить в виде произведения 4 и некоторого целого числа $p$:

$k = 4p$, где $p$ — целое число ($p \in \mathbb{Z}$).

Теперь подставим это выражение для $k$ в нашу исходную формулу для $n$:

$n = 3k = 3 \cdot (4p) = 12p$.

Выражение $n = 12p$ по определению означает, что число $n$ кратно 12.

Таким образом, мы строго доказали, что если целое число одновременно кратно 3 и 4, то оно обязательно будет кратно 12.

Ответ: Да, верно.