Номер 28.14, страница 234 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 28. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух натуральных чисел. Взаимно простые числа - номер 28.14, страница 234.

Условие.

28.14. Докажите, что значение выражения является целым числом при любом $n \in \mathbb{Z}$:

1) $ \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{24} $

2) $ \frac{n^5 - 5n^3 + 4n}{120} $

Решение.

1)

Рассмотрим выражение $\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{24}$.

Знаменатель дроби равен $24 = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 4!$.

Таким образом, выражение можно переписать в виде биномиального коэффициента:

$\frac{(n+3)(n+2)(n+1)n}{4!} = \binom{n+3}{4}$

Известно, что значение биномиального коэффициента $\binom{k}{r}$ является целым числом для любого целого $k$ и целого неотрицательного $r$. В данном случае $k = n+3$ является целым числом, так как $n \in \mathbb{Z}$, а $r=4$ — целое неотрицательное число.

Следовательно, значение выражения всегда является целым числом.

Ответ: Доказано.

2)

Рассмотрим выражение $\frac{n^5 - 5n^3 + 4n}{120}$.

Разложим числитель на множители:

$n^5 - 5n^3 + 4n = n(n^4 - 5n^2 + 4) = n(n^2 - 1)(n^2 - 4) = n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)$.

Переставив множители, получим произведение пяти последовательных целых чисел: $(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)$.

Знаменатель дроби равен $120 = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 5!$.

Таким образом, исходное выражение можно записать в виде биномиального коэффициента:

$\frac{(n+2)(n+1)n(n-1)(n-2)}{5!} = \binom{n+2}{5}$

Поскольку значение биномиального коэффициента $\binom{k}{r}$ является целым числом для любого целого $k$ и целого неотрицательного $r$, а в нашем случае $k = n+2$ — целое число и $r=5$ — целое неотрицательное число, то значение данного выражения всегда является целым числом.

Ответ: Доказано.