Номер 28.14, страница 234 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Алгебра, 8 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Поляков Виталий Михайлович, издательство Просвещение, Москва, 2014, розового цвета

Авторы: Мерзляк А. Г., Поляков В. М.

Тип: Учебник

Серия: алгоритм успеха

Издательство: Просвещение

Год издания: 2014 - 2025

Уровень обучения: углублённый

Цвет обложки: розовый

ISBN: 978-5-09-087881-4

Популярные ГДЗ в 8 классе

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 28. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух натуральных чисел. Взаимно простые числа - номер 28.14, страница 234.

№28.14 (с. 234)
Условие. №28.14 (с. 234)
скриншот условия
Алгебра, 8 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Поляков Виталий Михайлович, издательство Просвещение, Москва, 2014, розового цвета, страница 234, номер 28.14, Условие

28.14. Докажите, что значение выражения является целым числом при любом $n \in \mathbb{Z}$:

1) $ \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{24} $

2) $ \frac{n^5 - 5n^3 + 4n}{120} $

Решение. №28.14 (с. 234)

1)

Рассмотрим выражение $\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{24}$.

Знаменатель дроби равен $24 = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 4!$.

Таким образом, выражение можно переписать в виде биномиального коэффициента:

$\frac{(n+3)(n+2)(n+1)n}{4!} = \binom{n+3}{4}$

Известно, что значение биномиального коэффициента $\binom{k}{r}$ является целым числом для любого целого $k$ и целого неотрицательного $r$. В данном случае $k = n+3$ является целым числом, так как $n \in \mathbb{Z}$, а $r=4$ — целое неотрицательное число.

Следовательно, значение выражения всегда является целым числом.

Ответ: Доказано.

2)

Рассмотрим выражение $\frac{n^5 - 5n^3 + 4n}{120}$.

Разложим числитель на множители:

$n^5 - 5n^3 + 4n = n(n^4 - 5n^2 + 4) = n(n^2 - 1)(n^2 - 4) = n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)$.

Переставив множители, получим произведение пяти последовательных целых чисел: $(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)$.

Знаменатель дроби равен $120 = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 5!$.

Таким образом, исходное выражение можно записать в виде биномиального коэффициента:

$\frac{(n+2)(n+1)n(n-1)(n-2)}{5!} = \binom{n+2}{5}$

Поскольку значение биномиального коэффициента $\binom{k}{r}$ является целым числом для любого целого $k$ и целого неотрицательного $r$, а в нашем случае $k = n+2$ — целое число и $r=5$ — целое неотрицательное число, то значение данного выражения всегда является целым числом.

Ответ: Доказано.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 28.14 расположенного на странице 234 к учебнику серии алгоритм успеха 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №28.14 (с. 234), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.