Номер 28.14, страница 234 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков
 
                                                Авторы: Мерзляк А. Г., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-09-087881-4
Популярные ГДЗ в 8 классе
Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 28. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух натуральных чисел. Взаимно простые числа - номер 28.14, страница 234.
№28.14 (с. 234)
Условие. №28.14 (с. 234)
скриншот условия
 
                                28.14. Докажите, что значение выражения является целым числом при любом $n \in \mathbb{Z}$:
1) $ \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{24} $
2) $ \frac{n^5 - 5n^3 + 4n}{120} $
Решение. №28.14 (с. 234)
1)
Рассмотрим выражение $\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{24}$.
Знаменатель дроби равен $24 = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 4!$.
Таким образом, выражение можно переписать в виде биномиального коэффициента:
$\frac{(n+3)(n+2)(n+1)n}{4!} = \binom{n+3}{4}$
Известно, что значение биномиального коэффициента $\binom{k}{r}$ является целым числом для любого целого $k$ и целого неотрицательного $r$. В данном случае $k = n+3$ является целым числом, так как $n \in \mathbb{Z}$, а $r=4$ — целое неотрицательное число.
Следовательно, значение выражения всегда является целым числом.
Ответ: Доказано.
2)
Рассмотрим выражение $\frac{n^5 - 5n^3 + 4n}{120}$.
Разложим числитель на множители:
$n^5 - 5n^3 + 4n = n(n^4 - 5n^2 + 4) = n(n^2 - 1)(n^2 - 4) = n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)$.
Переставив множители, получим произведение пяти последовательных целых чисел: $(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)$.
Знаменатель дроби равен $120 = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 5!$.
Таким образом, исходное выражение можно записать в виде биномиального коэффициента:
$\frac{(n+2)(n+1)n(n-1)(n-2)}{5!} = \binom{n+2}{5}$
Поскольку значение биномиального коэффициента $\binom{k}{r}$ является целым числом для любого целого $k$ и целого неотрицательного $r$, а в нашем случае $k = n+2$ — целое число и $r=5$ — целое неотрицательное число, то значение данного выражения всегда является целым числом.
Ответ: Доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 28.14 расположенного на странице 234 к учебнику серии алгоритм успеха 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №28.14 (с. 234), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.
 
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                    