Номер 28.15, страница 234 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 28. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух натуральных чисел. Взаимно простые числа - номер 28.15, страница 234.

Условие.

28.15. Докажите, что значение выражения является целым числом при любом $n \in \mathbb{Z}: $

1) $ \frac{n^3 + 5n}{6} $;

2) $ \frac{n(n+1)^2(n+2)}{12} $;

3) $ \frac{(n^2-1)(n^2+2n)}{24} $.

Решение.

1)

Чтобы доказать, что значение выражения $\frac{n^3 + 5n}{6}$ является целым числом при любом $n \in Z$, нужно показать, что числитель $n^3 + 5n$ делится на 6. Число делится на 6, если оно делится одновременно на 2 и на 3 (так как 2 и 3 — взаимно простые числа и $2 \cdot 3 = 6$).

Преобразуем выражение в числителе:
$n^3 + 5n = n^3 - n + 6n = n(n^2 - 1) + 6n = (n-1)n(n+1) + 6n$.

1. Докажем делимость на 2.
Выражение $(n-1)n(n+1)$ является произведением трех последовательных целых чисел. Среди любых трех последовательных целых чисел есть как минимум одно четное, поэтому их произведение делится на 2. Слагаемое $6n$ также делится на 2. Сумма двух чисел, делящихся на 2, делится на 2. Следовательно, $(n-1)n(n+1) + 6n$ делится на 2.

2. Докажем делимость на 3.
Выражение $(n-1)n(n+1)$ является произведением трех последовательных целых чисел. Среди любых трех последовательных целых чисел ровно одно делится на 3, поэтому их произведение делится на 3. Слагаемое $6n$ также делится на 3. Сумма двух чисел, делящихся на 3, делится на 3. Следовательно, $(n-1)n(n+1) + 6n$ делится на 3.

Поскольку выражение $n^3 + 5n$ делится на 2 и на 3, оно делится и на 6. Таким образом, $\frac{n^3 + 5n}{6}$ — целое число.

Ответ: Доказано, что значение выражения является целым числом при любом $n \in Z$.

2)

Чтобы доказать, что значение выражения $\frac{n(n + 1)^2(n + 2)}{12}$ является целым числом, нужно показать, что числитель $N = n(n + 1)^2(n + 2)$ делится на 12. Так как $12 = 3 \cdot 4$ и числа 3 и 4 взаимно простые, докажем делимость $N$ на 3 и на 4.

Перепишем числитель в виде: $N = [n(n+1)(n+2)](n+1)$.

1. Докажем делимость на 3.
Множитель $n(n+1)(n+2)$ является произведением трех последовательных целых чисел. Такое произведение всегда делится на 3. Следовательно, и все выражение $N$ делится на 3.

2. Докажем делимость на 4.
Рассмотрим два случая в зависимости от четности $n$:
а) Если $n$ — четное число, то $n = 2k$ для некоторого целого $k$. Тогда $n+2 = 2k+2 = 2(k+1)$. Подставим в выражение:
$N = (2k)(n+1)^2(2(k+1)) = 4k(k+1)(n+1)^2$.
Так как в выражении есть множитель 4, оно делится на 4.
б) Если $n$ — нечетное число, то $n+1$ — четное. Пусть $n+1 = 2k$ для некоторого целого $k$. Подставим в выражение:
$N = n(2k)^2(n+2) = n \cdot 4k^2 \cdot (n+2) = 4k^2n(n+2)$.
Так как в выражении есть множитель 4, оно делится на 4.

Поскольку выражение $N$ делится на 3 и на 4, оно делится на $3 \cdot 4 = 12$. Таким образом, $\frac{n(n + 1)^2(n + 2)}{12}$ — целое число.

Ответ: Доказано, что значение выражения является целым числом при любом $n \in Z$.

3)

Чтобы доказать, что значение выражения $\frac{(n^2 - 1)(n^2 + 2n)}{24}$ является целым числом, нужно показать, что числитель $M = (n^2 - 1)(n^2 + 2n)$ делится на 24.

Разложим числитель на множители:
$M = (n-1)(n+1) \cdot n(n+2)$.
Переставив множители, получим:
$M = (n-1)n(n+1)(n+2)$.
Это произведение четырех последовательных целых чисел.

Известно, что произведение $k$ последовательных целых чисел всегда делится на $k!$ (k-факториал). В нашем случае $k=4$, поэтому произведение должно делиться на $4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$.

Докажем это утверждение, показав делимость на 3 и на 8 (так как $24 = 3 \cdot 8$ и числа 3 и 8 взаимно простые).
1. Делимость на 3. Среди четырех последовательных целых чисел всегда есть как минимум одно число, кратное 3. Следовательно, их произведение $M$ делится на 3.
2. Делимость на 8. Среди четырех последовательных целых чисел всегда есть два четных числа. Эти числа являются последовательными четными числами, вида $2k$ и $2k+2$. Одно из них обязательно делится на 4. Поэтому их произведение делится на $2 \cdot 4 = 8$. Следовательно, и все произведение $M$ делится на 8.

Поскольку выражение $M$ делится на 3 и на 8, оно делится на 24. Таким образом, $\frac{(n^2 - 1)(n^2 + 2n)}{24}$ — целое число.

Ответ: Доказано, что значение выражения является целым числом при любом $n \in Z$.