Номер 28.20, страница 235 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 28. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух натуральных чисел. Взаимно простые числа - номер 28.20, страница 235.

Условие.

28.20. Решите в натуральных числах уравнение $x(y+1)^2 = 243y$.

Решение.

Дано уравнение $x(y + 1)^2 = 243y$, где $x$ и $y$ — натуральные числа (т.е. $x, y \in \mathbb{N}$).

Поскольку $y$ — натуральное число, то $y \ge 1$, а значит $y+1 \neq 0$. Мы можем выразить $x$ через $y$:

$x = \frac{243y}{(y+1)^2}$

Так как $x$ по условию является натуральным числом, значение выражения $\frac{243y}{(y+1)^2}$ должно быть целым положительным числом.

Рассмотрим числитель и знаменатель дроби. Числа $y$ и $y+1$ являются последовательными натуральными числами, поэтому они взаимно просты, то есть их наибольший общий делитель $НОД(y, y+1) = 1$. Следовательно, число $y$ также взаимно просто со степенью числа $(y+1)$, то есть $НОД(y, (y+1)^2) = 1$.

Для того чтобы дробь $\frac{243y}{(y+1)^2}$ была целым числом, при условии взаимной простоты $y$ и $(y+1)^2$, необходимо, чтобы знаменатель $(y+1)^2$ был делителем множителя 243 в числителе.

Разложим число 243 на простые множители: $243 = 3 \cdot 81 = 3 \cdot 3^4 = 3^5$.

Теперь нам нужно найти все делители числа $243$, которые являются полными квадратами. Делители числа $243$: 1, 3, 9, 27, 81, 243. Из них полными квадратами являются 9 и 81. (Заметим, что $1=1^2$ не подходит, так как из $y \ge 1$ следует $y+1 \ge 2$ и $(y+1)^2 \ge 4$).

Рассмотрим два возможных случая:

1. Пусть $(y+1)^2 = 9$. Отсюда $y+1=3$ (так как $y+1$ должно быть положительным). Находим $y = 2$. Это натуральное число. Подставим $y=2$ в выражение для $x$: $x = \frac{243 \cdot 2}{(2+1)^2} = \frac{243 \cdot 2}{9} = 27 \cdot 2 = 54$. Так как $x=54$ является натуральным числом, пара $(54, 2)$ — это решение.

2. Пусть $(y+1)^2 = 81$. Отсюда $y+1=9$. Находим $y = 8$. Это натуральное число. Подставим $y=8$ в выражение для $x$: $x = \frac{243 \cdot 8}{(8+1)^2} = \frac{243 \cdot 8}{81} = 3 \cdot 8 = 24$. Так как $x=24$ является натуральным числом, пара $(24, 8)$ — это еще одно решение.

Других полных квадратов среди делителей числа 243 нет, следовательно, других решений в натуральных числах нет.

Ответ: $(54, 2)$, $(24, 8)$.