Номер 28.25, страница 235 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 28. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух натуральных чисел. Взаимно простые числа - номер 28.25, страница 235.

Условие.

28.25. Разложите на множители:

1) $x^4 - 8x^2 + 4;$

2) $4x^4 - 12x^2 + 1.$

Решение.

1) $x^4 - 8x^2 + 4$
Для разложения данного многочлена на множители воспользуемся методом выделения полного квадрата.
Заметим, что $x^4 = (x^2)^2$ и $4 = 2^2$. Для получения формулы квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ нам нужен член $-2 \cdot x^2 \cdot 2 = -4x^2$.
Представим средний член $-8x^2$ в виде разности $-4x^2 - 4x^2$:
$x^4 - 8x^2 + 4 = (x^4 - 4x^2 + 4) - 4x^2$
Теперь выражение в скобках представляет собой полный квадрат $(x^2 - 2)^2$. Подставим его в выражение:
$(x^2 - 2)^2 - 4x^2$
Заметим, что $4x^2 = (2x)^2$. Таким образом, мы получили разность квадратов вида $a^2 - b^2$, которая раскладывается на множители по формуле $(a-b)(a+b)$, где $a = x^2 - 2$ и $b = 2x$:
$(x^2 - 2)^2 - (2x)^2 = ((x^2 - 2) - 2x)((x^2 - 2) + 2x)$
Упорядочим члены внутри скобок, чтобы привести многочлены к стандартному виду:
$(x^2 - 2x - 2)(x^2 + 2x - 2)$
Ответ: $(x^2 - 2x - 2)(x^2 + 2x - 2)$

2) $4x^4 - 12x^2 + 1$
Для разложения этого многочлена также применим метод выделения полного квадрата.
Заметим, что $4x^4 = (2x^2)^2$ и $1 = 1^2$. Для получения формулы квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ нам нужен член $2 \cdot 2x^2 \cdot 1 = 4x^2$.
Представим средний член $-12x^2$ в виде разности $4x^2 - 16x^2$:
$4x^4 - 12x^2 + 1 = (4x^4 + 4x^2 + 1) - 16x^2$
Выражение в скобках представляет собой полный квадрат $(2x^2 + 1)^2$. Подставим его в выражение:
$(2x^2 + 1)^2 - 16x^2$
Заметим, что $16x^2 = (4x)^2$. Мы снова получили разность квадратов $a^2 - b^2$, где $a = 2x^2 + 1$ и $b = 4x$:
$(2x^2 + 1)^2 - (4x)^2 = ((2x^2 + 1) - 4x)((2x^2 + 1) + 4x)$
Упорядочим члены внутри скобок для приведения к стандартному виду:
$(2x^2 - 4x + 1)(2x^2 + 4x + 1)$
Ответ: $(2x^2 - 4x + 1)(2x^2 + 4x + 1)$