Номер 29.4, страница 239 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 29. Признаки делимости - номер 29.4, страница 239.

Условие.

29.4. Докажите, что $\overline{a_n a_{n-1} \dots a_2 a_1 a_0} \equiv \overline{a_2 a_1 a_0} \pmod{8}$.

Решение.

Пусть $N = \overline{a_n a_{n-1}...a_2a_1a_0}$ - это число, записанное в десятичной системе счисления, где $a_i$ - его цифры. Значение этого числа можно представить в виде суммы:$N = a_n \cdot 10^n + a_{n-1} \cdot 10^{n-1} + \dots + a_3 \cdot 10^3 + a_2 \cdot 10^2 + a_1 \cdot 10^1 + a_0$.

Обозначим число, образованное последними тремя цифрами, как $M = \overline{a_2a_1a_0}$. Его значение равно:$M = a_2 \cdot 10^2 + a_1 \cdot 10^1 + a_0$.

Мы можем переписать выражение для $N$, выделив в нем число $M$:$N = (a_n \cdot 10^n + a_{n-1} \cdot 10^{n-1} + \dots + a_3 \cdot 10^3) + (a_2 \cdot 10^2 + a_1 \cdot 10 + a_0)$. Вынесем $1000$ за скобки в первой части выражения:$N = 1000 \cdot (a_n \cdot 10^{n-3} + a_{n-1} \cdot 10^{n-4} + \dots + a_3) + M$.

Нам нужно доказать, что $N \equiv M \pmod{8}$. Это утверждение эквивалентно тому, что разность $N - M$ делится на 8, то есть $N - M \equiv 0 \pmod{8}$. Найдем эту разность, используя полученное выше выражение для $N$:$N - M = 1000 \cdot (a_n \cdot 10^{n-3} + a_{n-1} \cdot 10^{n-4} + \dots + a_3)$.

Рассмотрим число 1000. Его можно представить в виде произведения:$1000 = 10^3 = (2 \cdot 5)^3 = 2^3 \cdot 5^3 = 8 \cdot 125$. Поскольку 1000 делится на 8 нацело, то по определению сравнения по модулю, $1000 \equiv 0 \pmod{8}$.

Так как выражение для разности $N-M$ содержит множитель 1000, который делится на 8, то и вся разность делится на 8. Запишем это в виде сравнения:$N - M = 1000 \cdot (\dots) \equiv 0 \cdot (\dots) \pmod{8}$. Следовательно, $N - M \equiv 0 \pmod{8}$.

Из того, что $N - M \equiv 0 \pmod{8}$, следует, что $N \equiv M \pmod{8}$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Разность между исходным числом и числом, образованным его последними тремя цифрами, представляет собой число, оканчивающееся на три нуля, то есть оно всегда кратно 1000. Так как $1000$ делится на $8$ ($1000 = 8 \cdot 125$), то и разность всегда делится на 8, что доказывает данное сравнение.