Номер 29.10, страница 239 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 29. Признаки делимости - номер 29.10, страница 239.

Условие.

29.10. К числу 34 допишите слева и справа по одной цифре так, чтобы образовавшееся число было кратно 45. Сколько решений имеет задача?

Решение.

Пусть слева к числу 34 мы дописываем цифру $x$, а справа — цифру $y$. Получается четырёхзначное число вида $\overline{x34y}$. По условию, цифра $x$ не может быть нулём, так как число должно быть четырёхзначным, то есть $x \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$. Цифра $y$ может быть любой, то есть $y \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.

Получившееся число должно быть кратно 45. Число делится на 45, если оно делится одновременно на 5 и на 9, так как $45 = 5 \times 9$ и числа 5 и 9 взаимно простые.

1. Признак делимости на 5.
Число делится на 5, если его последняя цифра — 0 или 5. В нашем случае последняя цифра — это $y$. Следовательно, возможны два варианта: $y = 0$ или $y = 5$.

2. Признак делимости на 9.
Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Сумма цифр числа $\overline{x34y}$ равна $x + 3 + 4 + y = x + y + 7$.

Рассмотрим оба возможных случая для $y$.

Случай 1: $y = 0$
Число имеет вид $\overline{x340}$. Сумма его цифр равна $x + 3 + 4 + 0 = x + 7$. Эта сумма должна быть кратна 9. Так как $x$ — это цифра от 1 до 9, то значение суммы $x + 7$ находится в диапазоне от $1 + 7 = 8$ до $9 + 7 = 16$. Единственное число в этом диапазоне, кратное 9, — это само число 9. Следовательно, $x + 7 = 9$, откуда $x = 2$. Получаем первое число — 2340. Проверим: $2340 / 45 = 52$. Условие выполняется.

Случай 2: $y = 5$
Число имеет вид $\overline{x345}$. Сумма его цифр равна $x + 3 + 4 + 5 = x + 12$. Эта сумма должна быть кратна 9. Так как $x$ — это цифра от 1 до 9, то значение суммы $x + 12$ находится в диапазоне от $1 + 12 = 13$ до $9 + 12 = 21$. Единственное число в этом диапазоне, кратное 9, — это 18. Следовательно, $x + 12 = 18$, откуда $x = 6$. Получаем второе число — 6345. Проверим: $6345 / 45 = 141$. Условие выполняется.

Таким образом, мы нашли два числа, удовлетворяющих условию задачи: 2340 и 6345. Задача имеет два решения.

Ответ: 2