Номер 29.5, страница 239 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 29. Признаки делимости - номер 29.5, страница 239.

Условие.

29.5. Докажите, что $\overline{a_n a_{n-1} \dots a_2 a_1 a_0} \equiv \overline{a_2 a_1 a_0} \pmod{125}$.

Решение.

Для доказательства данного утверждения представим число $\overline{a_n a_{n-1} \dots a_2 a_1 a_0}$ в виде суммы его разрядных слагаемых. Обозначим это число как $N$.

$N = a_n \cdot 10^n + a_{n-1} \cdot 10^{n-1} + \dots + a_3 \cdot 10^3 + a_2 \cdot 10^2 + a_1 \cdot 10^1 + a_0$

Теперь сгруппируем слагаемые, чтобы отделить число, образованное последними тремя цифрами, которое равно $\overline{a_2 a_1 a_0} = 100a_2 + 10a_1 + a_0$.

$N = (a_n \cdot 10^n + a_{n-1} \cdot 10^{n-1} + \dots + a_3 \cdot 10^3) + (100a_2 + 10a_1 + a_0)$

В первой группе слагаемых каждый член содержит множитель $10^k$, где $k \geq 3$. Мы можем вынести за скобки $10^3 = 1000$:

$N = 1000 \cdot (a_n \cdot 10^{n-3} + a_{n-1} \cdot 10^{n-4} + \dots + a_3) + \overline{a_2 a_1 a_0}$

Выражение в скобках является целым числом. Обозначим его как $K$. Тогда наше равенство принимает вид:

$N = 1000K + \overline{a_2 a_1 a_0}$

Нам нужно доказать, что $N \equiv \overline{a_2 a_1 a_0} \pmod{125}$. По определению сравнения по модулю, это означает, что разность $N - \overline{a_2 a_1 a_0}$ должна делиться на 125.

$N - \overline{a_2 a_1 a_0} = 1000K$

Теперь проверим, делится ли 1000 на 125.

$1000 \div 125 = 8$

Так как 1000 делится на 125 без остатка ($1000 = 8 \cdot 125$), то $1000 \equiv 0 \pmod{125}$.

Следовательно, произведение $1000K$ также делится на 125 для любого целого $K$. Это означает, что $1000K \equiv 0 \pmod{125}$.

Таким образом, $N - \overline{a_2 a_1 a_0} \equiv 0 \pmod{125}$, что эквивалентно $N \equiv \overline{a_2 a_1 a_0} \pmod{125}$.

Подставляя исходное обозначение для $N$, получаем:

$\overline{a_n a_{n-1} \dots a_2 a_1 a_0} \equiv \overline{a_2 a_1 a_0} \pmod{125}$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.