Номер 29.8, страница 239 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 29. Признаки делимости - номер 29.8, страница 239.

Условие.

29.8. Запишите, используя по одному разу каждую из цифр 0; 1; 4; 7, наибольшее и наименьшее четырёхзначные числа, кратные 15.

Решение.

Чтобы четырехзначное число было кратно 15, оно должно одновременно делиться на 3 и на 5.

1. Признак делимости на 5.
Число делится на 5, если его последняя цифра — 0 или 5. Из заданных цифр {0, 1, 4, 7} для последней позиции подходит только цифра 0. Значит, искомые числа должны оканчиваться на 0.

2. Признак делимости на 3.
Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Найдем сумму заданных цифр: $0 + 1 + 4 + 7 = 12$. Сумма цифр равна 12, а 12 делится на 3 ($12 : 3 = 4$). Это означает, что любое четырехзначное число, составленное из этих цифр, будет делиться на 3.

Итак, нам нужно составить наибольшее и наименьшее четырехзначные числа, используя цифры {1, 4, 7} для первых трех разрядов и цифру 0 для разряда единиц.

Наибольшее число
Для получения наибольшего числа необходимо расположить оставшиеся цифры {1, 4, 7} в порядке убывания в старших разрядах (тысячи, сотни, десятки).

• Разряд тысяч: 7
• Разряд сотен: 4
• Разряд десятков: 1
• Разряд единиц: 0

Таким образом, наибольшее число — 7410.
Проверим делимость на 15: $7410 \div 15 = 494$.
Ответ: 7410.

Наименьшее число
Для получения наименьшего числа необходимо расположить оставшиеся цифры {1, 4, 7} в порядке возрастания в старших разрядах.

• Разряд тысяч: 1 (самая маленькая из доступных, не равная нулю)
• Разряд сотен: 4
• Разряд десятков: 7
• Разряд единиц: 0

Таким образом, наименьшее число — 1470.
Проверим делимость на 15: $1470 \div 15 = 98$.
Ответ: 1470.