Номер 29.15, страница 239 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 29. Признаки делимости - номер 29.15, страница 239.

Условие.

29.15. Вместо звёздочек подставьте такие цифры, чтобы число $42*4*$ делилось нацело на 72.

Решение.

Пусть искомое число имеет вид $42x4y$, где $x$ и $y$ — это цифры, которые нужно подставить вместо звёздочек. Чтобы число делилось на 72, оно должно одновременно делиться на 8 и на 9, так как $72 = 8 \times 9$ и числа 8 и 9 являются взаимно простыми.

Рассмотрим признак делимости на 8. Число делится на 8, если число, образованное тремя его последними цифрами ($x4y$), делится на 8. Это означает, что число $100x + 40 + y$ должно быть кратно 8. Так как $40$ делится на 8, то и $100x + y$ должно делиться на 8. Выражение $100x$ можно представить как $96x + 4x$. Поскольку $96x$ всегда делится на 8 ($96 = 12 \times 8$), то для делимости всего выражения на 8 необходимо, чтобы $4x + y$ делилось на 8. Переберём все возможные цифры $x$ и $y$ и найдем подходящие пары $(x, y)$:

• Если $x$ — чётное ($0, 2, 4, 6, 8$), то $4x$ кратно 8. Тогда и $y$ должен быть кратен 8, то есть $y=0$ или $y=8$. Получаем пары: (0,0), (0,8), (2,0), (2,8), (4,0), (4,8), (6,0), (6,8), (8,0), (8,8).
• Если $x$ — нечётное ($1, 3, 5, 7, 9$), то $4x$ при делении на 8 даёт в остатке 4. Чтобы сумма $4x+y$ делилась на 8, $y$ при делении на 8 также должен давать в остатке 4. Единственная цифра, удовлетворяющая этому условию, — это $y=4$. Получаем пары: (1,4), (3,4), (5,4), (7,4), (9,4).

Теперь рассмотрим признак делимости на 9. Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Сумма цифр числа $42x4y$ равна $4+2+x+4+y = 10+x+y$. Эта сумма должна быть кратна 9. Учитывая, что $x$ и $y$ — цифры от 0 до 9, сумма $x+y$ может быть от 0 до 18. Тогда $10+x+y$ находится в диапазоне от 10 до 28. Единственные числа в этом диапазоне, кратные 9, — это 18 и 27. Отсюда получаем два возможных условия для суммы $x+y$:

• $10+x+y=18 \implies x+y=8$
• $10+x+y=27 \implies x+y=17$

Осталось найти среди пар $(x, y)$, удовлетворяющих признаку делимости на 8, те, которые удовлетворяют одному из условий для делимости на 9.

Проверим случай $x+y=8$. Из списка пар, полученных из условия делимости на 8, подходят (0,8) и (8,0).

Проверим случай $x+y=17$. Ни одна из найденных ранее пар не дает в сумме 17 (максимальная возможная сумма в нашем списке пар $8+8=16$).

Таким образом, мы нашли две возможные пары для $(x, y)$: (0, 8) и (8, 0). Подставив их в число $42x4y$, получаем два числа: 42048 и 42840.

Ответ: вместо первой звёздочки должна стоять цифра 0, а вместо второй — 8, либо наоборот: вместо первой — 8, а вместо второй — 0. В результате получаются числа 42048 и 42840.