Номер 29.20, страница 239 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 29. Признаки делимости - номер 29.20, страница 239.

Условие.

29.20. Докажите, что натуральное число, в десятичной записи которого использованы один раз цифра 1, два раза цифра 2, три раза цифра 3 и четыре раза цифра 4, не является квадратом натурального числа.

Решение.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся признаками делимости на 3 и на 9, так как эти свойства числа зависят только от суммы его цифр, а не от их порядка.

Сначала найдем сумму цифр $S$ натурального числа, о котором идет речь в задаче. Число состоит из одной цифры 1, двух цифр 2, трех цифр 3 и четырех цифр 4.

Сумма его цифр равна:
$S = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 3 + 4 \cdot 4 = 1 + 4 + 9 + 16 = 30$.

Согласно признаку делимости, число делится на 3 (или на 9), если сумма его цифр делится на 3 (или на 9).

Проверим сумму цифр $S=30$:

• $30$ делится на 3 ($30 = 3 \cdot 10$), следовательно, само число делится на 3.
• $30$ не делится на 9 ($30 = 9 \cdot 3 + 3$), следовательно, само число не делится на 9.

Теперь предположим, что данное число является квадратом некоторого натурального числа $k$, то есть $N = k^2$.

Поскольку мы установили, что число $N$ делится на 3, то и $k^2$ должно делиться на 3.

Если квадрат натурального числа $k^2$ делится на простое число (в данном случае на 3), то и само число $k$ должно делиться на это простое число. Таким образом, $k$ делится на 3.

Если натуральное число $k$ делится на 3, то его можно записать в виде $k = 3m$, где $m$ — некоторое натуральное число.

Тогда квадрат этого числа будет равен $N = k^2 = (3m)^2 = 9m^2$.

Из этого следует, что число $N$ должно делиться на 9.

Мы получили противоречие: из нашего предположения, что число является полным квадратом, следует, что оно должно делиться на 9. Однако ранее мы показали, что сумма его цифр равна 30, и поэтому оно на 9 не делится.

Следовательно, исходное предположение неверно, и данное натуральное число не может быть квадратом натурального числа.

Ответ: Что и требовалось доказать.