Номер 29.27, страница 240 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 29. Признаки делимости - номер 29.27, страница 240.

Условие.

29.27. Натуральное число $n$ таково, что число $n^2 + 1$ — десятизначное. Докажите, что в записи числа $n^2 + 1$ найдутся две одинаковые цифры.

Решение.

Доказательство проведем от противного. Предположим, что все десять цифр в записи числа $n^2 + 1$ различны.

Поскольку число $n^2 + 1$ является десятизначным и, по нашему предположению, все его цифры различны, то его запись должна состоять из набора всех десяти цифр: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

Найдем сумму цифр этого числа. Сумма всех десяти различных цифр от 0 до 9 равна:
$S = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = \frac{9 \cdot (9+1)}{2} = 45$.

Согласно признаку делимости на 3, если сумма цифр числа делится на 3, то и само число делится на 3. Так как сумма цифр числа $n^2 + 1$ равна 45, а $45$ делится на 3 ($45 = 3 \cdot 15$), то из нашего предположения следует, что число $n^2 + 1$ должно быть кратно 3.

Теперь рассмотрим, какие остатки может давать число $n^2 + 1$ при делении на 3 для любого натурального $n$. Любое натуральное число $n$ при делении на 3 может давать остаток 0, 1 или 2. Рассмотрим все три случая:
1. Если $n$ делится на 3 ($n \equiv 0 \pmod{3}$), то $n^2 \equiv 0^2 \equiv 0 \pmod{3}$, и, следовательно, $n^2 + 1 \equiv 0 + 1 \equiv 1 \pmod{3}$.
2. Если $n$ дает остаток 1 при делении на 3 ($n \equiv 1 \pmod{3}$), то $n^2 \equiv 1^2 \equiv 1 \pmod{3}$, и, следовательно, $n^2 + 1 \equiv 1 + 1 \equiv 2 \pmod{3}$.
3. Если $n$ дает остаток 2 при делении на 3 ($n \equiv 2 \pmod{3}$), то $n^2 \equiv 2^2 \equiv 4 \equiv 1 \pmod{3}$, и, следовательно, $n^2 + 1 \equiv 1 + 1 \equiv 2 \pmod{3}$.

Во всех возможных случаях остаток от деления числа $n^2 + 1$ на 3 равен либо 1, либо 2. Это означает, что число $n^2 + 1$ никогда не делится на 3 нацело.

Мы пришли к противоречию: из нашего предположения следует, что число $n^2 + 1$ должно делиться на 3, но мы строго показали, что оно не может делиться на 3 ни при каком натуральном $n$. Следовательно, наше первоначальное предположение о том, что все цифры числа $n^2 + 1$ различны, неверно.

Таким образом, в десятичной записи числа $n^2 + 1$ обязательно найдутся хотя бы две одинаковые цифры. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.