Вопросы?, страница 247 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 30. Простые и составные числа - страница 247.

Условие.

1. Какое число называют простым?

2. Какое число называют составным?

3. Конечным или бесконечным является множество простых чисел?

4. Сформулируйте основную теорему арифметики.

5. Что называют каноническим разложением составного числа на простые множители?

6. Сформулируйте малую теорему Ферма.

Решение.

1. Какое число называют простым?
Простым числом называют натуральное число, которое больше 1 и имеет ровно два различных натуральных делителя: единицу и само себя. Иными словами, натуральное число $p > 1$ является простым, если оно делится без остатка только на 1 и на $p$. Например, числа 2, 3, 5, 7, 11 являются простыми.
Ответ: Натуральное число, большее единицы, которое имеет только два делителя: единицу и само себя.

2. Какое число называют составным?
Составным числом называют натуральное число, которое больше 1 и не является простым. Это означает, что составное число имеет хотя бы один натуральный делитель, отличный от единицы и самого себя. Например, число 6 является составным, так как оно делится на 1, 2, 3 и 6. Любое составное число можно представить в виде произведения двух натуральных чисел, каждое из которых больше единицы.
Ответ: Натуральное число, большее единицы, которое не является простым (имеет более двух делителей).

3. Конечным или бесконечным является множество простых чисел?
Множество простых чисел является бесконечным. Это одна из фундаментальных теорем теории чисел, доказанная еще в Древней Греции математиком Евклидом. Его доказательство строится от противного: если предположить, что количество простых чисел конечно, то можно сконструировать число, которое не делится ни на одно из них, что приводит к противоречию.
Ответ: Множество простых чисел является бесконечным.

4. Сформулируйте основную теорему арифметики.
Основная теорема арифметики гласит, что любое натуральное число, большее единицы, либо является простым, либо может быть представлено в виде произведения простых чисел, причём это представление единственно с точностью до порядка следования сомножителей. Например, число 30 можно представить как $2 \cdot 3 \cdot 5$. Любое другое его разложение на простые множители будет содержать те же самые числа (2, 3, 5) в другом порядке, например $5 \cdot 2 \cdot 3$.
Ответ: Каждое натуральное число $n > 1$ может быть представлено в виде произведения простых множителей единственным образом (с точностью до порядка их следования).

5. Что называют каноническим разложением составного числа на простые множители?
Каноническим разложением составного числа $n$ на простые множители называют его представление в виде произведения степеней различных простых чисел, где основания степеней (простые множители) упорядочены по возрастанию. Формально это выглядит так: $n = p_1^{k_1} \cdot p_2^{k_2} \cdot \ldots \cdot p_m^{k_m}$, где $p_1 < p_2 < \ldots < p_m$ — различные простые числа, а $k_1, k_2, \ldots, k_m$ — натуральные числа, показывающие, сколько раз каждый простой множитель входит в разложение. Например, каноническое разложение числа 600: $600 = 2^3 \cdot 3^1 \cdot 5^2$.
Ответ: Представление числа в виде произведения степеней различных простых чисел, записанных в порядке возрастания оснований.

6. Сформулируйте малую теорему Ферма.
Малая теорема Ферма утверждает, что если $p$ — простое число, то для любого целого числа $a$ число $(a^p - a)$ делится нацело на $p$. В терминах модульной арифметики это записывается как сравнение: $a^p \equiv a \pmod{p}$. Существует также другая, часто используемая формулировка: если $p$ — простое число, а целое число $a$ не делится на $p$, то число $(a^{p-1} - 1)$ делится нацело на $p$. В виде сравнения: $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$.
Ответ: Если $p$ — простое число и $a$ — любое целое число, то $a^p - a$ делится на $p$.