Номер 30.6, страница 247 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 30. Простые и составные числа - номер 30.6, страница 247.

Условие.

30.6. Известно, что числа1 $a$ и $b$ таковы, что $ab : q$. Верно ли утверждение, что $a : q$ или $b : q$, если:

1) $q = 13$;

2) $q = 21$?

Решение.

Данная задача рассматривает свойство делимости произведения двух чисел. Утверждение "если произведение $ab$ делится на $q$, то хотя бы один из множителей ($a$ или $b$) делится на $q$" верно только в том случае, если $q$ является простым числом. Рассмотрим каждый случай отдельно.

1)

Рассмотрим случай, когда $q = 13$.
Число 13 является простым числом, так как оно делится только на 1 и на само себя. Согласно основному свойству простых чисел (следствие из основной теоремы арифметики, также известное как лемма Евклида), если произведение двух целых чисел $a$ и $b$ делится на простое число $p$, то по крайней мере одно из этих чисел ($a$ или $b$) должно делиться на $p$. В нашем случае дано, что $ab \vdots 13$. Поскольку 13 — простое число, из этого следует, что либо $a \vdots 13$, либо $b \vdots 13$. Следовательно, утверждение верно.

Ответ: Да.

2)

Рассмотрим случай, когда $q = 21$.
Число 21 является составным числом, так как оно имеет делители, отличные от 1 и самого себя (например, 3 и 7). $21 = 3 \cdot 7$. Для составных чисел утверждение, указанное в задаче, в общем случае неверно. Чтобы это доказать, достаточно привести контрпример. Пусть $a = 3$ и $b = 7$. Найдем их произведение: $ab = 3 \cdot 7 = 21$. Проверим условие делимости произведения: $ab \vdots 21$, так как $21 \vdots 21$. Условие выполняется. Теперь проверим, делится ли хотя бы один из множителей на 21:

• $a = 3$. $3$ не делится нацело на $21$.
• $b = 7$. $7$ не делится нацело на $21$.

Таким образом, мы нашли такие числа $a$ и $b$, что их произведение $ab$ делится на 21, но ни $a$, ни $b$ в отдельности на 21 не делятся. Следовательно, утверждение неверно.

Ответ: Нет.