Номер 30.8, страница 247 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 30. Простые и составные числа - номер 30.8, страница 247.

Условие.

30.8. Докажите, что остаток при делении простого числа на 30 равен 1 или простому числу.

Решение.

Пусть $p$ — простое число. Нам нужно доказать, что остаток при делении $p$ на 30 равен 1 или простому числу. Представим любое простое число $p$ в виде $p = 30k + r$, где $k$ — целое неотрицательное число, а $r$ — остаток от деления, причём $0 \le r < 30$.

Разобьём доказательство на два случая.

Случай 1: $p$ является простым делителем числа 30.
Простыми делителями числа $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$ являются числа 2, 3 и 5. Если $p = 2$, то при делении на 30 получаем $2 = 30 \cdot 0 + 2$. Остаток $r=2$, что является простым числом. Если $p = 3$, то при делении на 30 получаем $3 = 30 \cdot 0 + 3$. Остаток $r=3$, что является простым числом. Если $p = 5$, то при делении на 30 получаем $5 = 30 \cdot 0 + 5$. Остаток $r=5$, что является простым числом. Таким образом, для простых чисел 2, 3 и 5 утверждение верно.

Случай 2: $p$ не является простым делителем числа 30, т.е. $p > 5$.
Если $p$ — простое число, большее 5, то оно не делится ни на 2, ни на 3, ни на 5. Это означает, что число $p$ взаимно просто с числом 30. Наибольший общий делитель этих чисел равен 1: $\text{НОД}(p, 30) = 1$. Из равенства $p = 30k + r$ следует свойство наибольшего общего делителя: $\text{НОД}(p, 30) = \text{НОД}(30k + r, 30) = \text{НОД}(r, 30)$. Поскольку $\text{НОД}(p, 30) = 1$, то и $\text{НОД}(r, 30) = 1$. Это означает, что остаток $r$ ($0 \le r < 30$) должен быть взаимно простым с числом 30.

Теперь нам нужно определить, какие из этих возможных остатков $r$ являются 1 или простым числом. Число $r$ взаимно просто с 30, если оно не имеет общих простых делителей с 30, то есть не делится на 2, 3 и 5. Рассмотрим число $r$ в диапазоне $1 \le r < 30$. Если $r = 1$, то оно удовлетворяет условию. Если $r > 1$ и $r$ — составное число, то оно должно иметь простой делитель $q$, такой что $q \le \sqrt{r}$. Поскольку $r < 30$, то $\sqrt{r} < \sqrt{30} \approx 5.47$. Следовательно, любой составной остаток $r < 30$ должен иметь простой делитель из множества $\{2, 3, 5\}$. Но если $r$ делится на 2, 3 или 5, то $\text{НОД}(r, 30) \neq 1$. Это противоречит нашему выводу, что остаток $r$ должен быть взаимно простым с 30. Следовательно, любой остаток $r$ в диапазоне $1 < r < 30$, взаимно простой с 30, не может быть составным числом, а значит, он должен быть простым. Числа в диапазоне $1 \le r < 30$, взаимно простые с 30, это: 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Все они, кроме 1, являются простыми числами. Таким образом, для любого простого $p > 5$ остаток от деления на 30 равен 1 или простому числу.

Объединяя оба случая, мы заключаем, что остаток при делении любого простого числа на 30 равен 1 или простому числу.

Ответ: Утверждение доказано. Для любого простого числа $p$ остаток $r$ при делении на 30 ($p=30k+r$) действительно является либо 1, либо простым числом.