Номер 30.9, страница 247 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 30. Простые и составные числа - номер 30.9, страница 247.

Условие.

30.9. Докажите, что каждое простое число $p (p > 3)$ можно записать в виде $6k + 1$ или $6k - 1$, $k \in N$.

Решение.

Для доказательства этого утверждения рассмотрим все возможные остатки, которые может давать натуральное число при делении на 6. Любое натуральное число $n$ можно представить в виде $n = 6k + r$, где $k$ — целое неотрицательное число, а $r$ — остаток от деления, $r \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$.

По условию, нам нужно рассмотреть простое число $p > 3$. Проанализируем каждый возможный случай для остатка $r$.

• Случай 1: Остаток 0, 2 или 4.
  Если $p = 6k$, $p = 6k + 2$ или $p = 6k + 4$.
  $p = 6k = 2(3k)$
  $p = 6k + 2 = 2(3k + 1)$
  $p = 6k + 4 = 2(3k + 2)$
  Во всех этих случаях число $p$ является четным. Единственное простое четное число — это 2. Но по условию $p > 3$, следовательно, $p$ не может быть четным. Значит, эти случаи невозможны для простого числа $p > 3$.
• Случай 2: Остаток 3.
  Если $p = 6k + 3 = 3(2k + 1)$.
  В этом случае число $p$ делится на 3. Единственное простое число, которое делится на 3, — это само число 3. Но по условию $p > 3$, следовательно, $p$ не может делиться на 3. Этот случай также невозможен.

Мы исключили остатки 0, 2, 3, 4. Таким образом, для простого числа $p > 3$ остаются только две возможности для остатка при делении на 6: 1 и 5.

• Если остаток равен 1, то $p = 6k + 1$.
• Если остаток равен 5, то $p = 6k + 5$.

Выражение $6k + 5$ можно преобразовать следующим образом:$p = 6k + 5 = 6k + 6 - 1 = 6(k+1) - 1$. Если мы введем новую переменную $m = k+1$, то получим $p = 6m - 1$. Поскольку по условию $k \in \mathbb{N}$ (т.е. $k \ge 1$), то и $m$ будет натуральным числом ($m \ge 2$). Форма $6k-1$ (при $k \ge 1$) покрывает все такие числа. Например, для $p=5$, $k=1$, $5 = 6 \cdot 1 - 1$.

Следовательно, любое простое число $p > 3$ может быть представлено в виде $6k + 1$ или $6k - 1$ для некоторого натурального числа $k$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Любое простое число $p > 3$ не делится на 2 и на 3. Числа вида $6k$, $6k+2$, $6k+4$ являются четными и, следовательно, не могут быть простыми (так как $p>2$). Числа вида $6k+3$ делятся на 3 и, следовательно, не могут быть простыми (так как $p>3$). Таким образом, для простого числа $p > 3$ остаются только формы $6k+1$ и $6k+5$. Форма $6k+5$ эквивалентна форме $6(k+1)-1$, то есть $6m-1$. Значит, все простые числа $p>3$ имеют вид $6k+1$ или $6k-1$ для некоторого $k \in \mathbb{N}$.