Номер 30.16, страница 248 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 30. Простые и составные числа - номер 30.16, страница 248.

Условие.

30.16. Найдите все простые числа $p$ такие, что числа $p+26$ и $p+28$ простые.

Решение.

По условию, $p$ — простое число, и числа $p+26$ и $p+28$ также являются простыми.

Рассмотрим различные случаи для простого числа $p$.

1. Если $p=2$. Тогда $p+26 = 2+26=28$. Число 28 является четным и больше 2, поэтому оно составное. Следовательно, $p=2$ не является решением.

2. Если $p=3$. Тогда $p+26 = 3+26=29$. Число 29 — простое. А $p+28 = 3+28=31$. Число 31 — тоже простое. Таким образом, все три числа ($3$, $29$, $31$) являются простыми, и $p=3$ является решением.

3. Если $p > 3$. Любое простое число, большее 3, не делится на 3. Значит, при делении на 3 оно может давать в остатке либо 1, либо 2. Рассмотрим эти два варианта:

а) Пусть $p$ при делении на 3 дает в остатке 1. Это можно записать как $p \equiv 1 \pmod{3}$, или $p=3k+1$ для некоторого натурального $k$. Тогда проверим число $p+26$: $p+26 = (3k+1) + 26 = 3k+27 = 3(k+9)$. Поскольку $p > 3$, то $k \ge 2$, значит $k+9 > 1$. Число $p+26$ делится на 3 и больше 3, следовательно, оно является составным. Этот случай не подходит.

б) Пусть $p$ при делении на 3 дает в остатке 2. Это можно записать как $p \equiv 2 \pmod{3}$, или $p=3k+2$ для некоторого натурального $k$. Тогда проверим число $p+28$: $p+28 = (3k+2) + 28 = 3k+30 = 3(k+10)$. Поскольку $p > 3$ (наименьшее такое простое - 5), то $k \ge 1$, значит $k+10 > 1$. Число $p+28$ делится на 3 и больше 3, следовательно, оно является составным. Этот случай также не подходит.

Мы рассмотрели все возможные варианты для простого числа $p$ и выяснили, что единственным решением является $p=3$.

Ответ: 3