Номер 30.21, страница 248 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 30. Простые и составные числа - номер 30.21, страница 248.

Условие.

30.21. Целые числа $m$ и $n$ таковы, что значение выражения $m^2 - 15mn + n^2$ кратно 17. Докажите, что значение выражения $m + n$ кратно 17.

Решение.

По условию задачи, значение выражения $m^2 - 15mn + n^2$ кратно 17, где $m$ и $n$ — целые числа. Запишем это условие, используя сравнение по модулю 17:

$m^2 - 15mn + n^2 \equiv 0 \pmod{17}$

Наша цель — доказать, что $m+n$ кратно 17, то есть $m+n \equiv 0 \pmod{17}$.

Рассмотрим левую часть исходного сравнения. Заметим, что коэффициент при $mn$ равен -15. По модулю 17 число -15 сравнимо с 2, так как $-15 = -1 \cdot 17 + 2$.

$-15 \equiv 2 \pmod{17}$

Заменим $-15$ на $2$ в исходном сравнении, так как нас интересуют остатки от деления на 17:

$m^2 + 2mn + n^2 \equiv 0 \pmod{17}$

Левая часть этого сравнения представляет собой полный квадрат суммы чисел $m$ и $n$:

$(m+n)^2 \equiv 0 \pmod{17}$

Данное сравнение означает, что $(m+n)^2$ делится на 17 без остатка. Число 17 является простым. Для простых чисел справедливо следующее свойство (лемма Евклида): если произведение двух целых чисел делится на простое число $p$, то по крайней мере один из сомножителей делится на $p$.

В нашем случае произведение — это $(m+n) \cdot (m+n)$, а простое число $p=17$. Так как $(m+n)^2$ делится на 17, то и само число $(m+n)$ должно делиться на 17.

Таким образом, мы доказали, что значение выражения $m+n$ кратно 17.

Ответ: Доказано, что значение выражения $m + n$ кратно 17.